2o ciclo Inversa del tensor metrico (Parametrizacion de Monge)

[rruisan]

Buenas tardes, me dejaron comprobar lo siguiente que $g^{ab}=\delta^{ab}-\dfrac{\partial^ah\partial^bh}{1+(\partial h)^2}$ en su forma covariante.

Lo que se me ocurrió en primer lugar es sacar la matriz inversa de $(det g_{ab})^{-1}=g^{ab}$, donde $g=det g_{ab}=1+(\nabla h)^2$ donde sacando la inversa obtengo que


$g^{ab}=\dfrac{1}{g}\left[1+(\partial^xh)^2+(\partial^yh)^2+(\partial^xh)^2(\partial^yh)^2- (\partial^xh)^2(\partial^yh)^2\right]$

por lo que no se si es correcto hasta el paso anterior, donde no se como reducirlo para llegar a la comprobación que me dan en un principio, igual si hay términos que se puedan restar si conmutan algunas expresiones, si fuera el caso no veo que vaya quedando el resultado.


otro camino que se me ocurrió es definir los vectores tangentes

$e^a=(\partial^a r, \partial^a h)=(\delta_c^a, \partial^a h)$ donde $X(x,y)=(x,y,h(x,y))=(\vec{r},h(\vec{r}))$ de igual forma

$e^b=(\partial^b r, \partial^b h)=(\delta_c^b, \partial^a h)$, entonces tenemos que $g^{ab}=e^a\cdot e^b=\delta_c^a\delta_c^b+\partial^ah\partial^bh$, pero de igual forma no se como partir de aquí para llegar al resultado.

Les agradecería su orientación, gracias de antemano.

[rruisan]

Re: Inversa del tensor metrico (Parametrizacion de Monge)

voy a poner el procedimiento de la demostración que me dejaron, por si alguien mas se quedo con la inquietud, llegue a deducirlo con algo de ayuda del profesor:

Parto de que

$g^{-1}=(det g_{ab})^{-1}=g^{ab}$, recordando que $g=1+(\nabla h)^2$

$g^{-1}=\dfrac{1}{g}\begin{pmatrix}1+(\partial_yh)^2 &-\partial_xh\partial_yh \\\\-\partial_xh\partial_yh &1 +(\partial_xh)^2\end{pmatrix}$



$g^{ab}=(detg^{-1})_{ab}=\begin{pmatrix}1-\dfrac{(\partial_xh)^2}{g} &-\dfrac{\partial_xh\partial_yh)^2}{g} \\\\-\dfrac{\partial_xh\partial_yh}{g} &1 -\dfrac{\partial_xh\partial_yh}{g}\end{pmatrix}$



donde en componentes puede ser expresado como $g^{ab}=\begin{pmatrix}g^{xx} &g^{xy}\\\\ g^{yx}&g^{yy}\end{pmatrix}$



esto queda denotado en su forma tensorial como

$g^{ab}=\delta^{ab}-\dfrac{\partial^ah\partial^bh}{g}$


donde $a=x,y$ y $b=x,y$


espero se entienda.