1r ciclo Distancia en un Espacio Complejo

[Pepealej]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que creo que resuelvo correctamente, pero no estoy del todo seguro ya que trabajo con distancias complejas. Dice así:

En el espacio vectorial $\mathbb{C}^3$ con producto escalar canónico, hallar la distancia del vector $(i,i,1)$ al subespacio $W=\left< \left\{ (0,i,1),(2,i,i),(2,i+1,0) \right\} \right>$.

Lo he resuelto hallando la norma de la proyección del vector sobre el complemento ortogonal del subespacio (que es un subespacio de dimensión 1). Y obtengo una distancia: $d=\sqrt{-1-4i}$, que he supuesto que es correcta porque estamos trabajando en un espacio complejo. ¿Es así?

Gracias.

[hennin]

Re: Distancia en un Espacio Complejo

Hasta donde yo sé, cuando un espacio se dota de distancia, ésta es una aplicación con las tres propiedades básicas donde una de ellas es que la distancia de dos elementos del conjuntos distintos entre sí ha de ser mayor que cero. Por tanto la aplicación va a $R^+$ incluyendo el cero en el caso trivial.

Y $C$ si es verdad en el que hay un pre-orden (usualmente se dice que es un poset de partial ordered set) y por tanto creo que te habrás equivocado en el cálculo.

Saludos.

[Pepealej]

Re: Distancia en un Espacio Complejo

Cuando hablas del caso en $\mathbb{C}$ no te he entendido muy bien, la verdad. ¿Cómo dirías, entonces, que se calcula una distancia en un espacio complejo?

[hennin]

Re: Distancia en un Espacio Complejo

Lo que quería decirte es que $C$ no está ordenado (al igual que $R^n$) y por tanto no tiene sentido decir que un nº complejo es mayor o igual que cero. Con el pre-orden era solamente para añadir y que suele definirse en las grillas de $R^n$.

El caso, que dado un espacio métrico $(M,d)$ siendo d la distancia una aplicación de $M \times M \longmapsto R^+$. Y por tanto sería una contradicción tu respuesta frente a la definición de distancia.

Distancia en $C$ hay infinitas. Me imagino que el problema está pensado para tomar la distancia usual. Escribe los cálculos para ver dónde te has equivocado.

Saludos.

[Pepealej]

Re: Distancia en un Espacio Complejo

Estoy pensando que el error puede estar al calcular la norma de un vector.

Cuando llego al resultado obtengo que la distancia es la norma del vector proyectado sobre $W^{\perp{}}$: $\left\|{(i,-1-i,-1+i)}\right\|$.

Yo calculé esa norma haciendo la suma de cada coordenada al cuadrado y luego su raíz cuadrada, pero creo que lo correcto sería hacer: $(i,-1-i,-1+i)=(0,-1,-1)+i(1,-1,1)$, y por tanto su norma es: $\sqrt[ ]{0^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt[ ]{5}$. ¿Correcto?

[hennin]

Re: Distancia en un Espacio Complejo

Sí, habías calculado mal la norma. Para que no te líes, también puedes hacerlo multiplicando el número complejo por su conjugado.

Saludos.

[guibix]

Re: Distancia en un Espacio Complejo

también puedes hacerlo multiplicando el número complejo por su conjugado.

De hecho, creo que la definición general de norma en un espacio complejo es precisamente esto:

$$||z||=\sqrt{z \bar z}$$

Saludos.