1r ciclo Producto escalar y Vectorial "definicion"

[Clarck Luis]

Hola con todos, he estado estudiando algo de algebra vectorial y revisando me intereso buscar la demostracion del producto escalar y el vectorial, pero no encontre sustento alguno sobre este producto.
Revisando bibliografia de Calculo, solo encuentro demotracion de dicho modulo, mas no de la definicion.

En los libros y en mi clase, se plantea lo siguiente:

Dados dos vectores "A" y "B", su producto escalar se define como:

$\vec{A}.\vec{B}={a}_{ i}.{b}_{i}+{a}_{ j}.{b}_{j}+{a}_{ k}.{b}_{k}$

A partir de eso, con la ley de cosenos y operando demostramos la magnitud de dicho producto escalar y nos queda:

$\left\vert{} \vec{A}.\vec{B} \right\vert{}=\left\vert{} \vec{A} \right\vert{}\left\vert{} \vec{B} \right\vert{}\cos\theta$

Entonces la magnitud queda sustentada, pero y la definicion de donde viene?

Dados dos vectores "A" y "B", su producto vectorial se define como:
$<br /> \vec{A}\times\vec{B}=(\left\vert{} A \right\vert{}\left\vert{} B \right\vert{}\sin\theta)\hat{u}$

Sabiendo que $\hat{u}$ tiene una direccion perpendicular al plano formado por los vectores "A" y "B".

Entonces multiplicando termino por termino, usando las leyes distributivas y usando la definicion, nos queda:

$\vec{A}\times\vec{B}=({a}_{j}{b}_{k}-{a}_{k}{b}_{j })\hat{\imath}+({a}_{k}{b}_{i}-{a}_{i}{b}_{k })\hat{\jmath}+({a}_{i}{b}_{j}-{a}_{j}{b}_{i })\hat{k}$

Que es lo mismo que desarrollar un determinante simbolico.

Igual que el caso anterior la definicion de donde viene?

Para poner mas clara mi duda, supongamos que ignoro completamente ambas definiciones, como podria yo llegar a demostrar ambos productos? Tal vez resulte algo engorroso colocar todos los calculos, pero en verdad quisiera que me ayuden con esta duda, en todo caso podrian plantearme solo las ecuaciones a desarrollar. Gracias de antemano.

[angel relativamente]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

Son definiciones, no sé que puedes demostrar de ellas. Las definiciones se definen, y con ellas luego se demuestran teoremas.

Para poner mas clara mi duda, supongamos que ignoro completamente ambas definiciones, como podria yo llegar a demostrar ambos productos?

Como mucho, ya digo, podrías ser el primero en definirlos, los cálculos vienen después. Yo ahora puedo definir un tercer producto llamado el producto Ángel, verificar que no violo ningún axioma y hacer algunos teoremitas con él. Naturalmente caería en el olvido porque no es una definición útil. Otra pregunta interesante sería: ¿Y qué motivó en la historia de la ciencia definir estos productos tan arbitrarios? No me sé la respuesta a la pregunta, pero sus aplicaciones hablan por sí solas.

Saludos

[[Beto]]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

Hola, solo para añadir algo .. ese producto interno definido así de esa manera es el más usado ya que induce la métrica usual, es decir esa donde se calculan distancias usando el teorema de Pitágoras, así que si queremos medir algo en nuestro espacio tridimensional es algo natural que a alguien en algún momento se le ocurra una cosa parecida.

Un saludo.

[Clarck Luis]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

Hola con todos, no tenia claro que las definiciones simplemente se crean a conveniencia y son validas mientras no se viole ningun axioma xD. En todo caso mi pregunta se reduce a lo que dice angel al final de su respuesta ¿Y qué motivó en la historia de la ciencia definir estos productos tan arbitrarios?, como dice Beto puede que sea algo natural al tratar de calcular distancias en el espacio 3D. Pero especificamente cual fue la razon de estos productos? pienso que conociendo la razon puedo imaginar el camino que siguieron para llegar a las "definiciones" que ahora conocemos. Si alguien conoce la respuesta, me encantaria leerla. Gracias de antemano.

[hennin]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

pienso que conociendo la razon puedo imaginar el camino que siguieron para llegar a las "definiciones" que ahora conocemos

Hace tiempo leí que por la época de Maxwell (que nunca escribió sus ec.'s en la notación actual) se empezó a condensar las ecuaciones con el desarrollo y aplicación del cálculo vectorial en física.

[[Beto]]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

Hola con todos, no tenia claro que las definiciones simplemente se crean a conveniencia y son validas mientras no se viole ningun axioma xD. En todo caso mi pregunta se reduce a lo que dice angel al final de su respuesta ¿Y qué motivó en la historia de la ciencia definir estos productos tan arbitrarios?, como dice Beto puede que sea algo natural al tratar de calcular distancias en el espacio 3D. Pero especificamente cual fue la razon de estos productos? pienso que conociendo la razon puedo imaginar el camino que siguieron para llegar a las "definiciones" que ahora conocemos. Si alguien conoce la respuesta, me encantaria leerla. Gracias de antemano.

Pues debe ser como te digo, el producto interno usual sirve para medir distancias de la forma a la que todos estamos acostumbrados y por eso se definió así, ahora la teoría de producto interno en matemática es mucho más abstracta y cada uno de ellos induce métricas diferentes que dotan de ciertas propiedades al espacio vectorial en el cual se definen.

Cada producto interno que se defina puede o no tener utilidad, recuerda que el objetivo de un matemático no es definir cosas que resulten de utilidad practica en la vida diaria. :P

Lo que si es innegable es que el producto interno está íntimamente relacionado con el acto de medir, y eso en física es importante, por ello es necesario para poder trabajar formalmente. Para construir un producto escalar lo primero que te tienes que preguntar es ¿de qué manera quiero medir distancias en este espacio? y en base a ello lo construyes.

[natanael]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

Amigo Clarck Luis, gracias por la pregunta! ya que ésta me motivó a colocar en google: historia del producto escalar, lo cual me llevó a abrir el primer PDF que apareció, en el cual apredí que: los productos escalar y vectorial tienen sus origenes en los cuaterniones. Bueno... allí les dejo el link, para que lean y aprendan "correctamente", sin que nadie se los cuente!

Un comentario adicional:

Llevo años buscando el origen-histórico de estas dos operaciones tan famosas, sin embargo y aunque ese PDF sea una exquisitez bibliográfica, considero que no enfatiza mucho sobre el origen-funcional, ese origen que explica... no sé como decirlo...... ¿la naturaleza intrínseca de la operación?. Es decir, el producto escalar y vectorial están tan relacionados con el mundo físico y la geometría, que parece absurdo que hayan nacido de una simple definición matemática, una simple curiosidad matemática que al final de cuentas, esas dos operaciones, representan una buena porción de la matemática usada para hacer física!

link directo: http://www.uam.es/personal_pdi/cienc.../fich/jfgh.pdf

[abuelillo]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

Amigo Clarck Luis, gracias por la pregunta! ya que ésta me motivó a colocar en google: historia del producto escalar, lo cual me llevó a abrir el primer PDF que apareció, en el cual apredí que: los productos escalar y vectorial tienen sus origenes en los cuaterniones. Bueno... allí les dejo el link, para que lean y aprendan "correctamente", sin que nadie se los cuente!

En realidad parece que fueron reinventados/definidos varias veces a lo largo de la historia por distintos matematicos, al enfrentarse estos a estudios de distinto tipo, como problemas geometricos y el estudio de distintos solidos.
Partiendo del teorema de pitagoras que viene a ser un productor escalar de un vector consigo mismo, se puede llegar sin pensar mucho a una de las formulas del producto escalar, y haciendo unas pocas operaciones y pruebas empezar a ver su utilidad.
Y dado que la magnitud del producto vectorial se corresponden con el area del paralelepipedo que definen los dos vectores que se multipliquen, se ve que la operacion tambien tenia algun tipo de utilidad geometrica, asi que no parece tan extraño el como se llego a definir esas operaciones.

[guibix]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

Buenas,

Solo quería puntualizar que el producto vectorial no es un producto generalizable en cualquier espacio. Si bien el producto escalar se puede definir sobre un espacio de cualquier dimensión, el producto vectorial solo es aplicable en un espacio de tres dimensiones.

El producto vectorial se asemeja más a una aplicación lineal que "casualmente" en tres dimensiones da como resultado otro vector. Es un vector porque lo que resulta de este producto es la componente perpendicular al plano que forman los dos vectores originales. Pero es un vector si estamos en un espacio 3D. Si buscáramos el producto vectorial entre dos vectores de un espacio 4D nos daría como resultado una circunferencia, ya que el plano formado tiene dos grados de libertad perpendiculares a él. En este caso supongo que se tendría que hacer el producto de tres vectores para obtener un vector como resultado.

Por otra parte, los cuaterniones tienen de forma natural tres dimensiones imaginarias y una de real. Así que los ejes imaginarios tienen propiedades aplicables a un espacio de tres dimensiones reales. Es más, creo recordar que el producto "directo" entre dos cuaterniones de ciertas características (creo que era entre cuaterniones sin componente real), se comporta exactamente como un producto vectorial.

O sea, que dentro de los cuaterniones es algo natural. En consecuencia se puede considerar que lo que pasa en las tres dimensiones imaginarias es aplicable en un espacio de tres dimensiones reales.

Debido a sus múltiples aplicaciones, es normal que se hayan "descubierto" desde distintos caminos a lo largo de la historia. Aún así y como suele ocurrir en la mayoría de las veces, las definiciones que resultan muy útiles en múltiples campos, se acaba demostrando que surgen de forma natural de algún principio/definición más profundo. Y de la misma manera que los hipercomplejos contienen a los complejos y éstos a los reales, no es de extrañar que lo que surja de allí es algo bastante fundamental y "natural" (aunque marciano también ).

Saludos.

[Clarck Luis]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

Es interesante pensar en como se les pudo ocurrir a los matematicos de esa epoca tales definiciones, que en la actualidad tienen millones de aplicaciones. Nunca me ha gustado "asumir" las cosas, creo que la parte que mas me gusta de los libros y clases de matematica, es la parte de las demostraciones. Pero al revisar documentos y las respuestas aqui planteadas, creo que el camino hacia estas definiciones rebasa un poco mis conocimientos matematicos xD. Supongo que tendre que hacer una pausa hasta ponerme al dia en mas temas. Gracias a todos por sus respuestas.

[carroza]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

Es interesante pensar en como se les pudo ocurrir a los matematicos de esa epoca tales definiciones, que en la actualidad tienen millones de aplicaciones. Nunca me ha gustado "asumir" las cosas, creo que la parte que mas me gusta de los libros y clases de matematica, es la parte de las demostraciones. Pero al revisar documentos y las respuestas aqui planteadas, creo que el camino hacia estas definiciones rebasa un poco mis conocimientos matematicos xD. Supongo que tendre que hacer una pausa hasta ponerme al dia en mas temas. Gracias a todos por sus respuestas.

Hola. Te felicito por tu actitud de no querer "asumir" las cosas.

Con respecto al producto escalar, puedes buscar una definición más general. Tu quieres una aplicación lineal, que a partir de dos vectores, te de un escalar. Un vector es una cosa con tres componentes, que frente a rotaciones, se convierte en otra cosa de tres componentes, dada por una matriz de rotación. Un escalar es una cosa de una componente, que frente a rotaciones no se modifica.

Por tanto, la definición más general de producto escalar la obtienes introduciendo una matriz 3x3, $g^{ij}$, que podemos llamar "tensor métrico", de forma que

$\vec A \cdot \vec B = \sum_{ij} g^{ij} A_i B_j$.

En el caso particular en el que $g^{ij} = \delta_{ij}$ tienes el producto escalar "normal".

De la misma forma, para definir el producto vectorial necesitas una aplicación lineal que te convierta dos vectores en otro vector. La forma más general de hacer esto es introducir una matriz 3x3x3, con elementos $h^{ij}_k$, de manera que

$(\vec A \times \vec B)_k = \sum_{ij} h^{ij}_k A_i B_j$

En el caso particular en el que $h^{ij}_k = \epsilon_{ijk}$ (el tensor totalmente antisimétrico), tienes la definición habitual del producto vectorial.

Un saludo

[natanael]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

aquí es donde entro yó y me convierto en un abusador!

carroza, según la wikipedia y lo que recuerdo al caletre, entiendo que $h^{ij}_k$ sea una vez covariante y dos veces contravariante en su forma general, mientras que $\epsilon_{ijk}$ es tres veces covariante, etc.... y todo ese cuento!

He puesto gran interés y una especial atención para poder entender a que se refieren con covariancia y contravariancia, también he oido sobre unas reglas para bajar y subir índices, todo esto relacionado con el hecho de que $\dd \theta^i=\frac{\partial \theta^i}{\partial x^j}\dd x^j$ sea un prototipo que define la clase de tensores conocidos como vectores contravariantes y luego se mensione, sin ningún tipo de analogía, que $\frac{\partial \phi}{\partial \theta^i}=\frac{\partial \phi}{\partial x^j}\frac{\partial x^j}{\partial \theta^i}$ (la derivada parcial de una función escalar de la coordenadas) sea el prototipo de un vector covariante.

Estoy consciente que el tema requiere cierto dominio-caletre de la nomenclatura "tensorial", aparte de una comprensión clara sobre tranformaciones de coordenadas, temas en los cuales aún me considero un crío. Sin embargo, siempre me la paso preguntando, nunca está demás intentar dar con la opinión de otro usuario experto en estos temas. No sé, alguna bibliografía o alguna opinión sobre el tema no vendría mal .

[carroza]

Re: Producto escalar y Vectorial &quot;definicion&quot;

Hola. $\epsilon_{ijk}$, al igual que $\delta_{ij}$, son notaciones que nos dicen los valores de los elementos correspondientes en función de los índices. No tiene sentido subirles los índices.

No obstante, puede verse que un tensor $h^{ij}_k$, cuyos elementos son $\epsilon_{ijk}$, queda inalterado frente a rotaciones.

Las sutilezas de magnitudes covariantes y contravariantes están relacionadas con las transformaciones de Lorentz, no con las rotaciones, que es lo que aquí nos ocupa.

Saludos