1r ciclo Subespacios vectoriales

[cv5r20]

Dados los siguientes subespacios:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


- Calcular $S_1\cap S_2$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Así que resolvemos el sistema:

$\begin{pmatrix}1 &-2 & 0 \\-1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -3\\ 0 & 2 & 3\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Asi que nos da que: $x=0; y=0; z=0$



-Razonar si [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Puesto que la intersección es igual a (0,0,0) si que son suma directa

Ademas $dim S + dim T=dim(S+T)+dim(S_1\cap S_2)$ ,puesto que si son suma directa $dim(S_1\cap S_2)=0$ y dim S= dim T=3 entonces nos queda que la dimensión del subespacio suma es 6.



-Hallar $S_1+S_2$


¿es correcto lo que he hecho? ¿como se calcula el subespacio suma?

[angel relativamente]

Re: Subespacios vectoriales

Una cosa hay que tener muy clara: son SUBespacios de $\mathbb {R}^3$, y por tanto la dimensión de cada uno de ellos será menor o igual a 3. La suma e intersección de subespacios sigue siendo un subespacio de $\mathbb {R}^3$ en este caso, así que difícilmente la suma tenga dimensión 6. Tu error está en suponer que la dimensión de S y de T es 3 (porque de hecho si se cumpliera $\dim S = \dim T = 3$ se cumpliría que $S=T=\mathbb{R}^3$, por ser S,T subespacios de este). Para calcular la dimensión de un subespacio dado por sus ecuaciones tienes que hacer la diferencia entre la dimensión del espacio al que pertenezcan (3 en este caso) y el número de ecuaciones linealmente independientes.

Saludos,

[cv5r20]

Re: Subespacios vectoriales

Entonces $dim S_1=1$ y $dim S_2 =1$ por lo que $dim (S_1+S_2)=2$

¿lo demás esta bien?

Gracias

[carlosphy]

Re: Subespacios vectoriales

No puedes tener un espacio de dimensión 6 porque como ha dicho angel relativamente ambos conjuntos de vectores son subespacios de . Puedes tratar ambos subespacios por separado para ver si son linealmente independientes cada uno en su subespacio. De ser así al ponerlos todos juntos alguno debe ser combinación lineal de los demás ya que la suma de las dimensiones no puede ser mayor que la del espacio vectorial en el que están contenidos.

Y la fórmula es: $Dim (S_1 + S_2)= Dim S_1 + Dim S_2 - Dim (S_1 "interseccion""S_2)$

Nótese que no sé poner la "U" invertida de intersección.

[cv5r20]

Re: Subespacios vectoriales

Si ya lo entendí gracias, puedes poner intersección en LaTex con \cap

¿como se calcula la suma de los subespacios?

[angel relativamente]

Re: Subespacios vectoriales

Entonces $dim S_1=1$ y $dim S_2 =1$ por lo que $dim (S_1+S_2)=2$

¿lo demás esta bien?

Gracias

No he comprobado si las ecuaciones son l.i., pero parece que sí así que todo bien. Para hallar es espacio suma yo trabajaría con bases. Saca qué vector genera S1 y qué vector genera S2, y la suma será el espacio generado por estos dos vectores (que se sobreentiende que son linealmente independientes porque la intersección de S1 y S2 es el origen).

[carlosphy]

Re: Subespacios vectoriales

Si ya lo entendí gracias, puedes poner intersección en LaTex con \cap

¿como se calcula la suma de los subespacios?

Puedes hacerlo por el método de Gauss. Pones todas las bases en una matriz e intentas reducirla a la forma escalonada usando operaciones elementales (suma entre filas, multiplicación por escalares, intercambio de filas) y el rango de la matriz final es la dimensión del espacio.

[cv5r20]

Re: Subespacios vectoriales

Saco las bases :

base de $S_1=(2,1,1)$

base de $S_2=(-2,1,-2/3)$

No entiendo muy bien que es lo que hay que hace ahora ¿como se sigue?

[angel relativamente]

Re: Subespacios vectoriales

Como sabes que la suma de S1 y S2 es directa, simplemente una base de $S_1+S_2$ es $(u_1,u_2)$, siendo $u_1=(2,1,1)$ y $u_2=(-2,1,-2/3)$. Con eso ya tienes completamente definido $S_1+S_2$, pero si te apetece puedes buscarle ecuaciones ahora que ya conoces la base.

Una duda que puede surgirte es, ¿y cómo calculo la suma de dos subespacios si esta no es directa? Pues muy simple: uniendo los vectores de una base de un subespacio con los del otro y quitando los que sean linealmente dependientes (esos que quitas serían una base del subespacio intersección).

Saludos

[cv5r20]

Re: Subespacios vectoriales

¿cuando te refieres a ecuaciones del subespacio suma te refieres a esto?

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Gracias

[angel relativamente]

Re: Subespacios vectoriales

Bueno, eso serían unas ecuaciones paramétricas, que es también otra forma de darlo, aunque menos común. Si quieres sacar las implícitas para dejarlo como te dan los subespacios $S_1$ y $S_2$, puedes igualar el siguiente determinante a cero:

$$\begin{vmatrix} x & 2 & -2 \\ y & 1 & 1 \\ z & 1 & -2/3 \end{vmatrix}=0$$

Desarrollando el determinante obtienes una ecuación implícita del subespacio. Y este solo tiene 1 que sea l.i., ya que es dimensión 2 en un espacio de dimensión 3 (piensa que cada ecuación es una restricción, así que una ecuación le da dos grados de libertad).

Saludos

[cv5r20]

Re: Subespacios vectoriales

Entonces queda en implícitas:

$S_1+S_2=\left\{ (x,y,z) | -\frac{\mathrm{5} }{\mathrm{3} }x-\frac{\mathrm{2} }{\mathrm{3} }y+4z\right\}=0$


Gracias

[angel relativamente]

Re: Subespacios vectoriales

Hay un fallo en el signo de la "y", y el igualado a cero va dentro del corchete. Quedaría algo así:

$$S_1+S_2=\left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3| -\frac{\mathrm{5} }{\mathrm{3} }x+\frac{\mathrm{2} }{\mathrm{3} }y+4z = 0 \right\}$$

Cualquier vector de $S_1+S_2$ verifica la ecuación, en concreto puedes comprobar que lo hacen los vectores de la base.

Saludos,

[cv5r20]

Re: Subespacios vectoriales

Lo del cero un despiste, el signo del termino ''y'' me sigue saliendo -.

Gracias

[angel relativamente]

Re: Subespacios vectoriales

Tienes razón, sale - y los vectores de la base verifican tu ecuación. Fallo mío.

Un saludo