1r ciclo Aplicación lineal

[cv5r20]

Sea $f:\mathbb{R} _3[x]\to M_2(x)$

$f(a+bx+cx^2+dx^3)=\begin{pmatrix}2a+c & b\\ c+d & 2a+b+c \end{pmatrix}$


Hallar una base del núcleo de $f$

$\begin{pmatrix}2a+c & b\\ c+d & 2a+b+c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Nos queda este sistema:

$2a+c=0$

$b=0$

$c+d=0$

$2a+b+c=0$


Sacamos una base del núcleo de $f$: base $ker f=\left\{ (1,0,-2,2)\right\}$


Calcular una imagen de la imagen $f$


Consideramos la base canónica: $\left\{ 1,x,x^2,x^3\right\}$

$f(1)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$f(x)=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$f(x^2)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$f(x^3)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$


Es sistema generador de la imagen de $f$

$\left\{ \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right\}$


Así que mediante Gauss reducimos y obtenemos una base libre:

$\left\{ \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right\}$ es una base de Im$f$


Determinar un subespacio T,suplementario de Im$f$. Dada B$\in$T, razona si existe p$\in \mathbb{R} _3[x]$ tal que $f(p)=B$



¿Es correcto lo que tengo hecho? ¿como hago el último apartado?

[gdonoso94]

Re: Aplicación lineal

Yo creo que es correcto. No me he puesto a hacerlo a mano, pero así por encima parece que está bien. Para determinar el subespacio suplementario creo que tienes que determinar el complemento ortogonal. De todas maneras, a ver si alguien que se le de mejor el álgebra nos aporta un granito de arena.

[cv5r20]

Re: Aplicación lineal

¿como se determina el complemento ortogonal?

[gdonoso94]

Re: Aplicación lineal

Si no recuerdo mal, sacando una base del subespacio y haciendo el producto escalar usual e igualándolo a 0. Si la base por ejemplo es: $(\vec{u_1},\vec{u_2})$, el complemento ortogonal viene dado por:

$$\dst U^{\perp}=<(x,y),(\vec{u_1},\vec{u_2}>=0$$

En matrices el producto escalar viene definido como:

$$\dst <A,B>=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}b_{ij}$$

Mucha suerte!

[cv5r20]

Re: Aplicación lineal

¿podría descomponer la matriz en vectores para facilitarlo ?

[gdonoso94]

Re: Aplicación lineal

Sí, en el segundo mensaje de este post que te voy a dejar escrito, ángel relativamente explica cómo se debe de hacer la transformación de matriz a vector.

http://forum.lawebdefisica.com/threads/25253-Intersecci%C3%B3n-de-2-subespacios-matriciales-2x2

Saludos!

[cv5r20]

Re: Aplicación lineal

Entonces quedaría así:

$\left< (2,0,2,0)(0,1,0,1)(1,0,1,1)(x,y,z,t)\right>=0$

me sale que seria (0,0,0,0)creo que esta mal ,¿como se haría?

[gdonoso94]

Re: Aplicación lineal

No, tendrías que hacer:

$$<(x,y,z,t)(2,0,0,2)>=0\to 2x+2t=0$$

$$<(x,y,z,t)(0,1,0,1)>=0\to y+t=0$$

$$<(x,y,z,t)(1,0,1,1)>=0\to x+y+t=0$$

Y ahí tienes las ecuaciones del subespacio ortogonal al subconjunto imagen. Para sacar una base de este sencillamente resuelve el sistema.

Saludos!

P.D.: He corregido el primer vector, lo has escrito mal en tu mensaje.

[cv5r20]

Re: Aplicación lineal

De la primera ecuación saco que : $x=-t;$
de la segunda que $y=-t$
y despejo en la tercera que me sale que $t=0$

por tanto me queda que el vector es $(0,0,0,0)$

[gdonoso94]

Re: Aplicación lineal

Entonces me has pillado, seguro que algún otro forero puede echarnos una mano con esto. Llevo bastante tiempo sin darle al álgebra.

Lo siento y un saludo!

[cv5r20]

Re: Aplicación lineal

Gracias de todos modos

[jauwlfd]

Re: Aplicación lineal

No, tendrías que hacer:

$$<(x,y,z,t)(2,0,0,2)>=0\to 2x+2t=0$$

$$<(x,y,z,t)(0,1,0,1)>=0\to y+t=0$$

$$<(x,y,z,t)(1,0,1,1)>=0\to x+y+t=0$$

Y ahí tienes las ecuaciones del subespacio ortogonal al subconjunto imagen. Para sacar una base de este sencillamente resuelve el sistema.

Saludos!

P.D.: He corregido el primer vector, lo has escrito mal en tu mensaje.

Tienes un fallo en la tercera ecuación: si es el producto escalar usual, no tendria que ser $<(x,y,z,t)(1,0,1,1)>=0\to x+z+t=0$ ? Por tanto, obtienes que x=y=-t y z=0, es decir, los vectores de la forma: $( \lambda , \lambda , 0 , - \lambda )$ con $\lambda$ perteneciendo a los numeros reales