1r ciclo Matriz coordenada

[cv5r20]

Sea esta aplicación $f:\mathbb{R} _3[x]\to M_2(x)$

$f(a+bx+cx^2+dx^3)=\begin{pmatrix}2a+c & b\\ c+d & 2a+b+c \end{pmatrix}$


Calcular la matriz coordenada de $f$ respecto este par de bases:

$\left\{ 1,1+x,1+x^2,1-2x^2+2x^3\right\}$ y $\left\{ \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}3 & 0\\ 1 & 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}$


Primero calculo la matriz coordenada respecto la primera base dada:

$f(1)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$f(1+x)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

$f(1+x^2)=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

$f(1-2x^2+2x^3)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$


Q es la matriz de cambio de la antigua a la nueva base:

$Q=\begin{pmatrix}2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 &0 \\ 2 & 3 & 3 &1\end{pmatrix}$

hacemos su inversa:

$Q^-1=\begin{pmatrix}1/2 & -1 & -3/2 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 &0 \\ -1 & -1 & 0 &1\end{pmatrix}$


Multiplicamos Q^-1 * la matriz coordenada respecto de la primera base dada y nos queda la matriz coordenada de $f$ respecto a las bases dadas es:


$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0\end{pmatrix}$

¿está bien resuelto?