1r ciclo Prueba unicidad elementro neutro

[gdonoso94]

Hola, tengo el siguiente ejercicio que dice así:

"Probar que si $(X,\star)$ tiene elemento neutro $e$, éste es único."

He hecho lo siguiente:

Un elemento neutro por la izquierda viene dado por

$$e\star x=x$$

y por la derecha viene dado por

$$x\star e=x$$

Por tanto tenemos que

$$e\star x=x\star e\to 1=1$$

¿Esto demuestra la unicidad?

Gracias.

[angel relativamente]

Re: Prueba unicidad elementro neutro

Hm, creo que solo demuestra que $e \star x = x \star e$. Para demostrar la unicidad siempre se suele usar el mismo truco: suponer que hay dos y ver que son el mismo. En efecto, sean $e_1$ y $e_2$ dos neutros, sabemos que $e_1 \star e_2 = e_1$, porque $e_2$ es neutro y todo lo que operes por un neutro lo deja tal cual. Sin embargo como $e_1$ también es neutro se tiene que $e_1 \star e_2 = e_2$. Por tanto se concluye que $e_1= e_2$.


Saludos,

[gdonoso94]

Re: Prueba unicidad elementro neutro

Mil gracias.