1r ciclo Subespacio vectorial en espacio de matrices

[gdonoso94]

Hola, tengo un cierto problema al identificar si una serie de subconjuntos son subespacios vectoirales o no. En concreto tengo el siguiente ejercicio:

"Decir cuáles de los siguientes subconjuntos de $V=M_n(\mathbb{K})$ son subespacios vectoriales:

$$\dst W_1=\{A\epsilon V|\text{A es invertible}\}$$

$$\dst W_2=\{A\epsilon V|r(A)=n-1\}$$

$$\dst W_3=\{A\epsilon V|A^t=2A\}$$

$$\dst W_4=\{A\epsilon V|A^2-2A=0\}$$

$$\dst W_5=\{(a_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\epsilon V|a_{11}-2a_{1n}+a_{nn}=0\}$$

"

Las soluciones son no, no, sí, no, sí. Pero no sé el por qué. ¿Alguien puede echarme una mano?

Gracias.

[hennin]

Re: Subespacio vectorial en espacio de matrices

Te animo a encontrar contraejemplos.
Para el 1, la matriz identidad es invertible y la -I también pero su suma no.
Para el 2, te sirve casi lo mismo: la matriz 1 salvo la última posición en la diagonal y la opuesta a ésta, la sumas y no tiene ese rango.
Para el 4, sean dos matrices que pertenecen a W. La suma no cumple esa igualdad $(A+B)^2-2AB=A^2+B^2+2AB-2AB=A^2+B^2\neq 0$.
Para el 3, sean dos matrices que pertencen a W. $(A+B)^t=A^t+B^t=2A+2B=2(A+B)$ y para los escalares es evidente. Luego sí es subespacio.
El 5 te lo dejo con la ayuda anterior. Puede que te cueste empezar porque es sencillo.

Saludos!

[gdonoso94]

Re: Subespacio vectorial en espacio de matrices

¡Gracias! Lo miraré más detenidamente mañana por la mañana. He acabado un poco hasta las pelotas hoy de subespacios :P.

Saludos!