1r ciclo Demostrar que es suma directa

[gdonoso94]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

"Demostrar que I y P son subespacioes de C(R,R) , y que C(R,R) es suma directa de P e I:

$$\dst P=\{f\epsilon C(\mathbb{R},\mathbb{R}|f(t)=f(-t),\forall t\epsilon \mathbb{R}\}$$

$$\dst I=\{f\epsilon C(\mathbb{R},\mathbb{R}|f(t)=-f(-t),\forall t\epsilon \mathbb{R}\}$$

"

Para demostrarlo he comprobado que f(t)+g(t)=f(-t)+g(-t) y que 2f(t)=2f(-t), y lo mismo con el conjunto I.

Ahora, ¿para demostrar que es suma directa sería lógico igualar las f(t)? Para que sea suma directa la intersección tiene que ser 0, y al igualar ambas f(t) queda que 1=-1, lo que no se cumple, así que la intersección es 0 y por tanto es suma directa.

¿Es correcto mi planteamiento?

[javier m]

Re: Demostrar que es suma directa

Pues el espacio $P$ intersectado con $I$, es el conjunto de las funciones que son tanto pares como impares, de modo que si $f$ pertence a la intersección debe cumplir que $f(-t)=f(t)=-f(t)$, de modo que $2f(t)=0=f(t)$, para todo t, es decir $f$ es la función cero.

- - - Actualizado - - -

Para demostrarlo he comprobado que f(t)+g(t)=f(-t)+g(-t) y que 2f(t)=2f(-t), y lo mismo con el conjunto I.

Creo que sería mejor así:

$(f+g)(t)=f(t)+g(t)=f(-t)+g(-t)=(f+g)(-t)$

$(af)(t)=a\cdot f(t)=a\cdot f(-t)=(af)(-t)$

[gdonoso94]

Re: Demostrar que es suma directa

Pues el espacio $P$ intersectado con $I$, es el conjunto de las funciones que son tanto pares como impares, de modo que si $f$ pertence a la intersección debe cumplir que $f(-t)=f(t)=-f(t)$, de modo que $2f(t)=0=f(t)$, para todo t, es decir $f$ es la función cero.
]

Hola Javier. Lo primero, gracias por la respuesta. Lo que no acabo de entender es la igualación que has hecho, por cierto, te falta un signo en el tercer miembro.

Un saludo.

[javier m]

Re: Demostrar que es suma directa

Lo que yo quiero es hallar la intersección de P con I. Tenemos que los elementos que están tanto en P como en I deben cumplir las condiciones de P y de I.

Si una función $f$ está en P, debe cumplir que $f(t)=f(-t)$, y si está está además en I debe cumplir también que $f(t)=-f(-t)$

Sumando esas dos identidades, se tiene que $2f(t)=0$, o $f(t)=0$ para todo $t$.

Espero que haya quedado más claro.

[gdonoso94]

Re: Demostrar que es suma directa

Ahora si, mil gracias.

Un saludo.