1r ciclo Determinar si R2 es espacio vectorial

[javirk]

Hola, tengo una duda con un problema:
"Determinar si $\mathbb{R}$ es un espacio vectorial con la suma habitual y la ley externa dada por $t(x,y)=(ty,tx)$."

¿Tengo que demostrar que se cumplen para la ley externa los cuatro axiomas de los k-espacios vectoriales?

Gracias.

[angel relativamente]

Re: Determinar si R2 es espacio vectorial

Sí, para demostrar que algo es espacio vectorial (y no un subespacio de otro) hay que hacerlo a pelo. De hecho, siendo estrictos, si no lo has hecho antes tendrías que demostrar que $( \mathbb{R}^2 , + )$ es un grupo conmutativo.
Tranquilo que estos ejercicios solo se hacen una vez en la vida

[javirk]

Re: Determinar si R2 es espacio vectorial

Hola! Pues menos mal, son tan distintos a lo que hacía antes que me parecen extrañísimos. Demostrar que $({\mathbb{R}}^{2}, +)$ es un grupo abeliano sé demostrarlo, pero ¿cómo demuestro (por ejemplo) la propiedad asociativa con la ley externa?

[angel relativamente]

Re: Determinar si R2 es espacio vectorial

Supongo que te refieres a, por ejemplo, que dados $s,t \in \mathbb{R}$ y $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, se tiene que $(st) \cdot (x,y) = s \cdot (t \cdot (x,y))$. La demostración es bien trivial: Por un lado se tiene que, por la definición de la ley externa, $(st)\cdot (x,y) = ((st)x , (st) y ) ,$. Por otro lado $s \cdot (t \cdot (x,y))= s \cdot (tx, ty ) = (s (tx), s (ty) )= ((st)x, (st) y )$, que coincide. Nota que para la última igualdad hemos utilizado la asociativa del producto de números reales. En general, el resto de propiedades se demuestran igual: Tiras de la definición y ves cómo funciona esa misma propiedad para $\mathbb{R}$. Es más un ejercicio de escribir que de pensar.

Un saludo,