1r ciclo Problema recién legado a la carrera

[Armeteo]

Hola foreros.

Acabo de empezar la carrera de Física y en las asignaturas de mates estoy muy perdido. No quiero dar pena, pero esto ha cambiado mucho desde el instituto. La matemáticas del instituto las estoy trabajando en Física, y algebra y calculo es una cosa muy distinta. Teorias... Así, me enviado un ejercicio para hacer y para nota y no se por dónde empezar. He estudiado algo de espacios vectoriales, propiedades etc. pero se me hace complicado esto. Aquí os dejo el ejercicio (traducido, porque yo estudio en euskara). A ver quién me puede ayudar.

[FONT=arial]i) Comprueba que cualquier V, el espacio vectorial C tiene la misma estructura que el espacio vectorial R. Comprueba, teniendo en cuenta que (v1,....,vn)es la base C de V, entonces (v1,....,vn,iv1,...,ivn) es la base R de V. Consecuentemente, justifica la relación que existe entre dimcV y dimrV.[/FONT]
[FONT=arial]ii)Cojamos C elevado a tres, como un espacio vectorial R. Encuentra una base del subepacio W, W=((x,y,z) [/FONT]<span style="color: rgb(51, 51, 51); font-family: arial, helvetica, clean, sans-serif; line-height: 16px;">\in dentro[FONT=arial] de C elevado a 3, x+iy-iz=0.))[/FONT]

[davinci]

Re: Problema recién legado a la carrera

Hola Armeteo

Te podría ayudar con la segunda parte del ejercicio, ya que la primera parece que corresponde a un apartado que todavía no he dado del tema ``espacios vectoriales´´. ¿Podrías ``traducir´´ lo que vas después del igual al subespacio W? De primeras, decirte que la base de un subespacio W se corresponde con un sistema de vectores S que sea sistema generador del subespacio W (es decir, que el subespacio W sea clausura del sistema S), y que ese mismo sistema de vectores sea libre. Para poder hallar la base del subespacio W debes desarrollar lo que hay dentro de las llaves o paréntesis (que no consigo ver ) para así hallar un conjunto de vectores (formando éstos un sistema de vectores) tal que el vector resultante de la combinación lineal de ellos pertenezca al subespacio W.

[Armeteo]

Re: Problema recién legado a la carrera

Gracias por el interés davinci.
Esta es la segunda parte:[FONT=arial]ii)Cojamos C elevado a tres, como un espacio vectorial R. Encuentra una base del subepacio W, W=((x,y,z)[/FONT] dentro[FONT=arial] de C elevado a 3, x+iy-iz=0.)) Primer paréntesises el corchete y el segundo paréntesis normal.

Y a ver quién me ayuda con la primera parte...[/FONT]

[davinci]

Re: Problema recién legado a la carrera

Vale, ahora sí

A ver, tenemos que: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , lo que es lo mismo que decir: $W={(iz-iy,y,z)\in C^3}$.

Nos queda que: $(iz-iy,y,z)=(iz,0,z)+(-iy,y,0)=z(i,0,1)+y(-i,1,0)$; donde ``z´´ e ``y´´ son escalares que pertenecen a los reales (el cuerpo en cuestión), y que el sistema $S={(i,0,1),(-i,1,0)}$ es un sistema generador de W (i+i.0-i=0; por ejemplo, usando el primer vector), y es un sistema libre (el único escalar que multipliques a ambos vectores para obtener el vector nulo, sería el escalar nulo (0)).

Espero haberte ayudado.

Un saludo!

[angel relativamente]

Re: Problema recién legado a la carrera

Yo no he entendido del todo el enunciado así que me abstengo a dar muchas pautas. No obstante, le hago un par de apreciaciones a davinci:

lo que es lo mismo que decir $W=(iz-iy,y,z)\in C^2$

No hombre, siguen siendo de $\mathbb{C}^3$ a pesar de que le hayas quitado un grado de libertad. Un plano en el espacio es de $\mathbb{R}^3$, todo y que su dimensión sea 2. Y supongo que para poner que ese vector es igual a $W$ aclararás después que es $\forall y,z \in \mathbb{C}$.

son escalares que pertenecen a los complejos (el cuerpo en cuestión)

Aquí ya entra la interpretación del enunciado que ya digo me parece confuso, pero si no he entendido mal aquí el cuerpo en cuestión es $\mathbb{R}$. $\mathbb{C}$ sobre el cuerpo $\mathbb{C}$ tiene dimensión 1, mientras que sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ tiene dimensión 2. Por tanto $\mathbb{C}^3$ sobre $\mathbb{R}$ tiene dimensión 6, y sobre $\mathbb{C}$ solo tiene dimensión 3. Creo que eso justifica en parte lo del apartado i).

[gdonoso94]

Re: Problema recién legado a la carrera

Hola, para el apartado 1 te tienes que dar cuenta que el cuerpo complejo es: $\mathbb{C}=(\mathbb{R}^2,+,\cdot)$. Esto quiere decir que a cada número complejo se le asignan dos reales, por tanto, una base de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{R}$ tiene que tener dos componentes (un plano). Si fuese en $\mathbb{C}^2$ tendría 4 componentes en $\mathbb{R}$.

En cuanto al segundo apartado, tienes que dejar una de las incógnitas en función de las otras dos, por ejemplo:

$\dst x=iz-iy$
$\dst y=\alpha$
$\dst z=\beta$

Saludos!

P.D: Se ha adelantado Ángel al enviar el mensaje. Su respuesta es más o menos parecida así que supongo que estaré en lo correcto :P.

[davinci]

Re: Problema recién legado a la carrera

Sí ángel, cambié lo del cuerpo en cuanto leí lo de R-espacio vectorial. Gracias por la primera corrección, había oído en clase decir que pasaba a ser de dimensión 2 al sustituir.

Un saludo

[Armeteo]

Re: Problema recién legado a la carrera

¡Y cómo se nomra una base? De la manera que lo has puesto esta bien dejando una en función de las otras dos

[davinci]

Re: Problema recién legado a la carrera

Yo nombro una base (B) así: $\dst H=\mathbb{K}<B>$, siendo H un subespacio vectorial, $\mathbb{K}$ el cuerpo en cuestión y B un sistema libre (no sé si te refieres a eso). En los ejercicios escribo la base (si no me especifican la letra previamente) con B como si fuera un sistema de vectores (ES un sistema de vectores...) , o sea: $\dst B=\left\{ v1,v2,v3...,vb \right\}$

[gdonoso94]

Re: Problema recién legado a la carrera

No entiendo a qué te refieres con cómo se nombra. Por ejemplo una base para ese subespacio sería (tomando y=1 y z=0):

$\dst B_W=\{ -i,1,0\}$

Saludos!

Edito: eso no sería una base, eso sería un vector de la base. Al tener dos parametro tendrías que sacar otro, como por ejemplo el que sale de hacer y=0 y z=1