1r ciclo Nuevo problema :Subespacios y base

[Armeteo]

Pues aquí un nuevo problema de álgebra sobre espacios y subespacios vectrials

Para que B sea B=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,,1)) \subset R elevado a tres.
i) Comprueba que B es base de R elevado a tred
ii)Aporta las coordenadas de la base canónica respecto a B. Cuáles son para el vector (1,1,,1) las coordenadas respecto a B y la base canónica?

Graciass.

intento poner símbolos matematicos pero todavía estoy un poco novato en foro.

- - - Actualizado - - -

subset es subconjunto (añadir raya debajo de igual)

[angel relativamente]

Re: Nuevo problema ubespacios y base

Hola Armeteo. No sé si has dado matrices de cambio de base o qué, pero estos ejercicios salen un poco aplicando la lógica.

i) Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio. Que son linealmente independientes puedes comprobarlo haciendo el determinante de la matriz que tiene por columnas esos tres vectores y viendo que es no nulo. Para ver que generan tienes que ver que existen coeficientes $\alpha, \beta , \gamma$ tales que cualquier vector $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ se puede poner de la forma $\alpha (1,1,0) + \beta (0,1,1) + \gamma (1, 0 ,1 )$. Pero para esto hay un teorema que dice que si en un espacio es de dimensión n tienes n vectores linealmente independientes, automáticamente estos son base.

ii) Supongo que conoces la base canónica. Para esto tienes que resolver los siguientes sistemas:


$(1,0, 0) =a (1,1,0) + b (0,1,1) + c (1, 0 ,1 )$
$(0,1, 0) =d (1,1,0) + e (0,1,1) + f (1, 0 ,1 )$
$(0,0, 1) =g(1,1,0) +h (0,1,1) + i(1, 0 ,1 )$

Para el siguiente es más de lo mismo. Pones el (1,1,1) como combinación lineal de los vectores de B y de la canónica.


Cualquier duda pregunta,

Un saludo