1r ciclo AYUDA EXAMEN: Determinar distancia entre dos rectas

[joel loyola]

Hola disculpen, alguien podria ayudarme a realizar este problema, es que en unas cuantas horas tengo examen y me que estancado, porque o se si esta bien lo que hice, y no se como comprobar. El problema dice asi:
Determinar la distancia entre las rectas L₁ y L_2:

L₁: x-y+2z+3=0 ...(1) L₂: (-1,2,3)+t(-2,5,0) t_ER
x+2y-z=0 ...(2)

TENGO COMO FORMULAS:

d= !(p₀-p₁)^.(u₁xu₂)! /!u₁xu₂! y d=!(q-p₀) x u! /!u!

Primero elimine una incógnita de L<sub>1 y la suma de ambas eliminando (al multiplicar la ecuación (2) x 2 y sumarle la ecuación (1)) y me quedo:

3x+3z+6=0

Después, saque N que tiene como componentes (A,B,C) los cuales son:

(3,0,3) ; pero como N es la normal de la ecuación resultando saque su vector director y lo llame q el cual tiene como componentes ( 3,0,3) (esta es mi duda, ya que no se si se pueda hacer eso)</sub>

A la recta L₂, determine sus ecuaciones paramétricas:

(-1,2,3)+t(-2,5,0) t_ER ; y t es como tener \lambda ya que ambas pertenecen a todos los reales :

(-1,2,3)+(-2t,5t,0t) t_ER

x=-1+2t
y= 2+5t
z= 3

p₀(-1,2,3) y u(-2,5,0)

y ahí ya puedo aplicar la segunda fórmula: d=!(q-p₀) x u! /!u!

d=![(3,0,3)-(-1,2,3)] x (-2,5,0)! /!(-2,5,0)!

d= 16/sqrt{29}

d=2.97u

OJALA QUE ME PUEDAN AYUDAR POR FAVOR. GRACIAS

[[Beto]]

Re: AYUDA EXAMEN: Determinar distancia entre dos rectas

Hola, yo te daré otro método que me parece más simple:

Primero piensa en lo siguiente ¿cómo represento una recta? ... la forma más simple es como una terna ordenada de tres componentes, hagamos eso entonces:

Para la primera recta:

L₁: x-y+2z+3=0 ...(1)
x+2y-z=0 ...(2)

acá restemos las dos ecuaciones (2)-(1), luego tenemos:

$$3y-3z-3=0\Rightarrow z=y-1$$

hagamos $y=u$ entonces $z=u-1$ y por lo tanto $x=u+1$, luego cualquier punto de esta recta se puede representar como:

$$P_1=(u+1,u,u-1)$$

Para la segunda recta:

$$L_2:(-1,2,3)+t(-2,5,0)\in R$$

¡Esta ya está en forma paramétrica! ... cualquier punto $P_2$ de esta recta se puede escribir como

$$P_2=(-1-2t,2+5t,3)$$

Luego la distancia entre dos puntos cualesquiera de esas rectas será:

$$d=|P_2-P_1|=\sqrt{[(-1-2t)-(u+1)]^2+[(2t+5)-u]^2+[3-(u-1)]^2}$$

simplificando un poco:

$$d^2=3\,{u}^{2}-14\,u+8\,{t}^{2}+28\,t+45$$

recordemos ahora que la distancia entre dos rectas se define como la misma distancia entre dos puntos de estas, por eso bastará con encontrar el $t_{min}$ y $u_{min}$ que hacen mínima esa distancia, y como puedes notar esa ecuación corresponde a una forma cuadrática y es mínima para $t_{min}=-7/4$ y $u_{min}=7/3$, luego reemplazando esos valores en (ec. dist.) y si no me he equivocado en cálculos obtengo que $d=2.041$, que es diferente a tu resultado.

Y me resulta un valor diferente al que haz obtenido.

Obviamente para tu examen supongo que lo tienes que realizar con las formulas que te han dado, pero con mi procedimiento ya tienes una ayuda al menos para ver que respuesta debes de obtener.

[joel loyola]

Re: AYUDA EXAMEN: Determinar distancia entre dos rectas

disculpe, solo no me quedo muy claro que operación realizó para obtener los valores de y ... disculpe las molestias

[[Beto]]

Re: AYUDA EXAMEN: Determinar distancia entre dos rectas

disculpe, solo no me quedo muy claro que operación realizó para obtener los valores de y ... disculpe las molestias

Es sencillo, tienes que minimizar

$$f(u,t)=3\,{u}^{2}-14\,u+8\,{t}^{2}+28\,t+45$$

como $f$ es una función de dos variables haces $\partial f/\partial t=0$ y $\partial f/\partial u=0$, de resolver ese sistema obtienes los valores que hacen que la función sea mínima, que si te das cuenta es algo muy similar a lo que se hace con funciones de una sola variable.

Habría adicianalmente que evaluar el análogo a las segundas derivadas, es decir la matriz Hessiana, pero en este caso no es necesario ya que la superficie que representa $f(u,t)$ es una paraboloide que se abre hacia arriba, por tanto el punto que se encuentra será evidentemente un mínimo.

[joel loyola]

Re: AYUDA EXAMEN: Determinar distancia entre dos rectas

Ah ok ok muchas gracias, ya tuve mi examen, con su ayuda pude resolver 4 de los 5 ejercicios muy fácilmente. muchas gracias