1r ciclo Morfismo equivalente

[Turing]

Hola,

he llegado a un problema que no sé como abordar, dice así:

"Sea f un endomorfismo del espacio vectorial de las matrices 2x2 que resulta de multiplicar por la izquierda los vectores por la matriz $\dst \left (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right )$. Construye una matriz del morfismo equivalente en el espacio isomorfo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ."

A ver si podéis ayudarme un poco, ya que estoy bastante espeso y no acabo de entender el concepto de morfismo equivalente en el espacio isomorfo.

Un saludo y gracias.

[angel relativamente]

Re: Morfismo equivalente

Un enunciado un poco lioso, te doy la razón. Aquí lo que hay que usar es que el espacio vectorial de las matrices $n\times n$ son isomorfas a $\mathbb{R}^{n^2}$. Recuerda que decir que dos espacios son isomorfos equivale a decir que existe al menos un isomorfismo entre ambos. ¿Qué isomorfismo podemos tomar aquí? Pues el natural es el que hace corresponder a cada matriz $E_{ij}$ (aquella que es todo 0 excepto un 1 en la fila i, columna j) un vector $e_{ij}$ de la base canónica de $\mathbb{R}^{n^2}$. Por ejemplo, puedes hacer corresponder la matriz $E_{11}$ al $(1,0,0,0)$, la $E_{12}$ al $(0,1,0,0)$, y así.

Una vez sabes identificar vectores de $\mathbb{R}^4$ con matrices, tienes que montarte ahora un endomorfismo de $\mathbb{R}^4$ que sea equivalente al anterior. Fíjate que tal como hemos definido la equivalencia, la matriz que multiplicas por la izquierda la identificaríamos con el vector $(0,1,1,1) \in \mathbb{R}^4$. Calcular la matriz de este endomorfismo es ya tarea mecánica.


Nota: En realidad este ejercicio tómalo como referencia, porque esa metodología es una herramienta muy útil en Álgebra. Todos conocemos muy bien las propiedades de $\mathbb{R}^m$, así que si nos dan un espacio abstracto de dimensión $m$ lo más sensato es buscar un isomorfismo con él.

Si no se entiende algo, pregunta. Entiendo que estos conceptos al principio no son sencillos de masticar.

Un saludo,

[Turing]

Re: Morfismo equivalente

Aquí lo que hay que usar es que el espacio vectorial de las matrices $n\times n$ son isomorfas a $\mathbb{R}^{n^2}$. Recuerda que decir que dos espacios son isomorfos equivale a decir que existe al menos un isomorfismo entre ambos.

Poco a poco, la definición que a mi me han dado de isomorfismo es: dos conjuntos son isomorfos si, a pesar de tener elementos o vectores distintos, funcionan de la misma manera.
Entonces, ¿podrías explicarme en que consiste que el espacio vectorial de las matrices $n\times n$ son isomorfas a $\mathbb{R}^{n^2}?$

el natural es el que hace corresponder a cada matriz $E_{ij}$ (aquella que es todo 0 excepto un 1 en la fila i, columna j) un vector $e_{ij}$ de la base canónica de $\mathbb{R}^{n^2}$. Por ejemplo, puedes hacer corresponder la matriz $E_{11}$ al $(1,0,0,0)$, la $E_{12}$ al $(0,1,0,0)$, y así.

¿Qué quieres decir con hacer corresponder? ¿Quieres decir que la matriz $E_{11}$ equivale al $(1,0,0,0)$?

Fíjate que tal como hemos definido la equivalencia, la matriz que multiplicas por la izquierda la identificaríamos con el vector $(0,1,1,1) \in \mathbb{R}^4$.

Éste vector lo sacas de $\dst \left (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right )$?

Tal y como he entendido las cosas, he llegado a una matriz tal que:

$<br /> \dst \left (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right )<br />$

Se acerca ésto a lo que me pide el enunciado?

Gracias por la ayuda!

[angel relativamente]

Re: Morfismo equivalente

Poco a poco, la definición que a mi me han dado de isomorfismo es: dos conjuntos son isomorfos si, a pesar de tener elementos o vectores distintos, funcionan de la misma manera.
Entonces, ¿podrías explicarme en que consiste que el espacio vectorial de las matrices $n\times n$ son isomorfas a $\mathbb{R}^{n^2}?$

La definición esa deja bastante que desear si no se especifica qué quiere decir "funcionar de la misma manera". Tampoco sé muy bien cómo te han podido dar una definición de isomorfismo entre "conjuntos", y no entre espacios vectoriales. Para hablar de isomorfismo los conjuntos tienen que tener una estructura, y el isomorfismo lo que hace es preservarla. En el caso de que tengan estructura de espacio vectorial, decimos que son isomorfos si se preservan las operaciones (ya sabes, una interna y un producto por escalares). Pero esto equivale a decir que existe al menos una aplicación lineal biyectiva (isomorfismo) entre ambos espacios. Esto es, que a cada vector de un espacio le haga corresponder un único vector del otro, y este otro sea correspondido solo por ese vector. En el caso de espacios vectoriales es muy sencillo, pues basta que tengan la misma dimensión para que sean isomorfos (es decir, para que puedas encontrar un isomorfismo). La idea es que de cada espacio vectorial puedes dar una base (un conjunto de vectores ordenados, generadores y linealmente independientes), y por tanto la aplicación lineal que hace corresponder el i-ésimo vector de la base del espacio de salida al i-ésimo vector de la base del espacio de llegada es biyectiva. En nuestro ejemplo, $\dim M_{2 \times 2 } (\mathbb{R} ) = \dim \mathbb{R}^4 = 4$, y hemos escogido las bases $\{ E_{11} , E_{12} , E_{21}, E_{22} \}$ y $\{ e_1, e_2 , e_3 , e_ 4 \}$ respectivamente.

¿Qué quieres decir con hacer corresponder? ¿Quieres decir que la matriz $E_{11}$ equivale al $(1,0,0,0)$?

Correcto. Si hemos dicho que existe un isomorfismo $\rho$ entre ambos espacios, quería decir que $\rho (E_{11}) = (1,0,0,0)$

Éste vector lo sacas de $\dst \left (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right )$?

También correcto, pues $\rho \left ( \dst \left (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) \right) = (0,1,1,1)$

Tal y como he entendido las cosas, he llegado a una matriz tal que:

$<br /> \dst \left (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right )<br />$

Se acerca ésto a lo que me pide el enunciado?

Diría que es exactamente eso lo que te pedía. Resumen metodológico: Nos daban un endomorfismo $f$ de $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$ y nos lo definían de una manera. Nosotros podemos encontrar sin mucho problema la imagen de una matriz cualquiera. Ahora el problema viene cuando queremos dar $f$ con su matriz asociada. Como sabemos que la matriz asociada tiene por columnas los vectores imagen de la base, y no tenemos mucha idea de cómo hacer eso con matrices, pues identificamos estas con $\mathbb{R}^4$ (mediante el isomorfismo $\rho$, aunque muchas veces esto se omite) y tenemos que $f$ es un endomorfismo equivalente a un $f'$ que nos hemos montado en $\mathbb{R}^4$. Ahora ya sabemos montar la matriz de $f'$ en unas ciertas bases, que en concreto para la base canónica es la que pones. Si por ejemplo en lugar de las matrices te hubiesen dado el espacio de los polinomios de grado menor o igual que 3 (que también tiene dimensión 4), esta claro que isomorfismo puedes montarte con $\mathbb{R}^4$, ¿no?


Un saludo