1r ciclo Encontrar la componente de A x B

[laura salas]

4. Dados los vectores A= 2i+3j-4k y B=-6i-4j+k, encontrar la componente de A x B en la dirección de C=i-j+k.

Solo he encontrado el producto escalar de A x B pero aparte de eso no se como se encuentra la componente en la dirección C

[Al2000]

Re: Encontrar la componente de A x B

Por la definición de producto escalar:

$$(\boldsymbol A \times \boldsymbol B) \boldsymbol \cdot \boldsymbol C = |\boldsymbol A \times \boldsymbol B| \cdot | \boldsymbol C | \cdot \cos \theta \quad \Rightarrow \quad |\boldsymbol A \times \boldsymbol B| \cdot \cos \theta = \frac {(\boldsymbol A \times \boldsymbol B) \boldsymbol \cdot \boldsymbol C}{| \boldsymbol C |}$$

donde $\theta$ es el ángulo entre el vector $\boldsymbol A \times \boldsymbol B$ y el vector $\boldsymbol C$.

Saludos,

Al

[laura salas]

Re: Encontrar la componente de A x B

pero no me piden la componente en vez del ángulo?

[angel relativamente]

Re: Encontrar la componente de A x B

Hola Laura. Según yo he entendido, $A\times B$ es un producto vectorial. La componente de $A \times B$ sobre $C$ no es más que la proyección de un vector sobre el otro, y en general la proyección de un vector $v$ sobre un vector $u$ es $\vert v \vert \cos \theta$, siendo $\theta$ el ángulo que forman (puedes comprobar esto dibujándote dos vectores y viendo quién es $\vert v \vert \cos \theta$ ). Por tanto la proyección que te pide el enunciado no es más que $P= |\boldsymbol A \times \boldsymbol B| \cdot \cos \theta$, y eso lo puedes calcular con la relación que te ha dado Al.

Un saludo,

[Estroncio38M]

Re: Encontrar la componente de A x B

Hola Laura, te cuento que lo que preguntas es bastante fácil de calcular y te lo demuestro.

Primero, definamos los vectores: A=2i+3j-4k, B=-6i-4j+1k, y C=1i-1j+1k.

Ahora, vamos a llevar el ejercicio a una resolución secuencial.
Lo primero es calcular el producto vectorial entre A y B (Dígase AxB).

En este caso tenemos que
AxB= (2i+3j-4k)x(-6i-4j+1k)

Ahora deberas multiplicar los factores como una multiplicación de parentesis normal, y siguiendo las reglas de multiplicación vectorial llegaremos a un primer resultado, las cuales son: ixj=k,jxk=i,kxi=j,ixi=jxj=kxk=0. Cualquier relación en sentido contrario (dígase jxi), es igual a los mismos valores que mencioné recién pero con valor negativo(ejemplo jxi=-k). El orden de los factores viene dado por los factores de la multiplicación, ya que AxB no es lo mismo que BxA.

Luego con esto aclarado, obtenemos que:

AxB=-8k-2j+18k+3i+24j-16i
AxB=-13i+22j+10k

Llamemos a este nuevo vector D.

Para el paso final, nos piden proyectar o buscar la componente este vector D en el vector C. Proyectar significa, por así decirlo, como buscar la sombra del vector D sobre C. La forma de obtener esto es por medio del producto escalar. Este producto es un valor escala (ej: 5), a diferencia del producto vectorial en donde obtendríamos un vector como resultado. Existen 2 formas de calcular un producto escalar: La primera es como bien dicen los comentarios anteriores $\left\vert{A} \right\vert{} *\left\vert{B} \right\vert{}*\cos\phi$ donde $\phi$ es el ángulo entre un vector y otro. Eiste otra forma de obtener el resultado, y esta es la que vamos a utilizar. Como estos vectores se componen de 3 componentes (La componente en x de A es Ax), vamos a realizar la siguiente operacion:
D*C= (Dx*Cx)+(Dy*Cy)+(Dz*Cz)
En este caso,
D*C= -13-22+10= -25.

Y este es el resultado de tu pregunta.


Saludos!

[Al2000]

Re: Encontrar la componente de A x B

Te faltó dividir entre el módulo de C, es decir, asumiendo que tus cálculos son correctos, el valor buscado es $\dst - \frac {25}{\sqrt 3}$.

Saludos,

Al

[Estroncio38M]

Re: Encontrar la componente de A x B

El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:
$A\cdot B ={\left[ Ax Ay Az\right]}^{T }\left[ Bx By Bz \right] = Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz$

En que parte considero yo el módulo de C? (En una de esas me estoy equivocando gravemente )