1r ciclo Matriz de rotación

[Turing]

Hola,

tengo una rotación de 45º alrededor de un eje (1,-1,0) y quiero buscar una base $\dst {e_1,e_2,e_3}$ ortonormal donde $\dst e_1$ se encuentre en la dirección del eje de rotación.

He empezando normalizando el vector (1, -1, 0), consiguiendo el vector $\dst e_1$ que me piden. Para conseguir los otros he ido haciendo productos escalares ordinarios e igualándolos a 0, para sacar los demás vectores. ¿Ésto es correcto?

Después quiero buscar la matriz de rotación en la base del enunciado y en la base canónica. El problema es que yo tengo apuntado que dicha matriz no depende de la base y aquí llego a una confusión, pues no entiendo que diferencias hay.

Un saludo.

[abuelillo]

Re: Matriz de rotación

Si puedes hacer un producto escalar igualar a cero y eso te daria e2, aunque hay infinitos valores posibles, elige los valores que quieras y despues normalizas el vector.
Despues para calcular e3 te basta hacer el producto vectorial de e1 y e2, que te da un vector perpendicular.
De todas formas el ejercicio te da unos valores sencillos, y se ve que la tercera coordenada vale cero y estas rotando con respecto a la coordenada z, de modo que es inmediato calcular el vector e3 que seria (0,0,n) donde n puede ser cualquier valor, pero podemos elegir 1 o -1 para que este normalizado.

Las rotaciones se hacen con respecto a algun eje o vector. Si tienes una matriz de rotacion en cierta base vectorial, no puedes usarla en otra base distinta, bueno por poder puedes pero no se corresponderia a la misma rotacion sobre el mismo eje. Si tienes la base vectorial A(a1,a2,a3) y una matriz R que hace rotaciones con respecto al eje/vector a3, si esa matriz la aplicas a coordenadas de otra base B(b1,b2,b3) pues estaras haciendo una rotacion con respecto al eje/vector b3, no con respecto al vector a3.

Para hacer la rotacion correcta de un vector v con coordenadas expresadas en la base B, teniendo una matriz de rotacion R expresada en base A, tendrias que:
Calcular la matriz de cambio de base AB (de A>B) y la BA (de B>A) (que es la inversa de la primera, o directamente la traspuesta si tienes vectores ortonormales).
Y hacer lo siguiente:
El vector v multiplicarlo por la matriz BA, con eso conviertes las coordenadas del vector a la base A y ahora ya puedes aplicar la matriz de rotacion R a esas coordenadas, y el resultado despues multiplicarlo por la matriz AB para volver convertirlo en coordenadas de la base original B.

Vector_rotado_en_base_B = AB x R x BA x vector_original_en_base_B

Asi que basta calcular R' = AB x R x BA

y asi te queda una unica matriz R' que hace todo el proceso:

Vector_rotado_en_base_B = R' x vector_original_en_base_B