1r ciclo Duda puntual (a la par que vital) sobre espacio cociente

[gdonoso94]

Hola a todos:

Bueno, aquí estoy otra vez de preguntas por este foro, resulta que me llegan los exámenes de la UNED y al repasar espacios vectoriales me he encontrado con que no entendí del todo cómo hallar las coordenadas de un vector (clase de equivalencia) en una base del espacio cociente formado entre dos conjuntos. Lo que hago es el procedimiento que he visto en varios libros, la clase debe ser combinación lineal de las clases de los vectores que forman la base del espacio cociente ($\mathbb{R}/U$) en cuestión:

$[v]=a[w]+b[x]$

Siendo w y x los vectores que forman la base. Lo que no entiendo es por qué el vector resultante debe pertenecer al espacio U, es decir, cumplir sus ecuaciones implícitas y de ahí despejar las coordenadas buscadas...

No sé si me he explicado bien... Para cualquier duda intento explicarlo de otra manera.

Gracias y un saludo.

[angel relativamente]

Re: Duda puntual (a la par que vital) sobre espacio cociente

Hola gdonoso, yo no he llegado a entender del todo la pregunta. A ver si puedes replantearlo aclarando un par de cosas, como por ejemplo quién es U y cómo está definido el cociente y las clases.

[gdonoso94]

Re: Duda puntual (a la par que vital) sobre espacio cociente

A ver, copio un ejemplo del libro que tengo:

Tenemos el subespacio U=2x-y+4z. Se pide hallar las coordenadas de [v]=(-1,2,1)+U en una base obtenida para $\mathbb{R}^3/U$.
[...] Se saca una base de U:

$\{(1,2,0),(0,4,1)\}$

A partir de la base de U ampliamos hasta una base de V=$\mathbb{R}^3/U$, por ejemplo el vector (0,0,1), entonces la clase [w]={(0,0,1)+U} es una base de V. Para cacular las coordenadas de [v] puede razonarse:

$(-1,2,1)+U=a((0,0,1)+U)\Leftrightarrow (-1,2,1-a)\epsilon U$[...]

Esto último es justo lo que no entiendo. ¿Por qué ese vector debe pertenecer a U? Para que pertenezca sencillamente tiene que cumplir sus ecuaciones cartesianas y despejando sale a=0, que es la coordenada de [v] respecto de la base formada por la clase [w]. Pero mi duda es esa, ¿por qué pertenece a U?

Gracias.

[angel relativamente]

Re: Duda puntual (a la par que vital) sobre espacio cociente

Bueno sin entender muy bien cuál es la relación de equivalencia en este caso con la que se definen esas clases, creo saber explicar la última expresión que copias (que es independiente de la definición del cociente en este caso).
Cuando tu tienes un vector $v$ y hablas de $v+U$, haces referencia al conjunto $\{ v+ u \; \; ; \; \; \forall u\in U \}$. Por otro lado, parece claro que si $a\in U$ (y U es un espacio vectorial), entonces $aU=\{ au \; \; ; \; \; \forall u \in U \}=U$. Por tanto cuando pones $(-1,2,1)+U=a((0,0,1)+U)$ es equivalente a poner $(-1,2,1)+U=(0,0,a)+U$. Y por la definición de estos conjuntos, equivale a decir que $\exists u_1, u_2 \in U$ tales que $(-1,2,1)+u_1=(0,0,a)+u_2$, por tanto $(-1,2,1-a)=u_2 - u_1 \in U$ por ser un espacio vectorial.

Espero que esto solucione las dudas. Un saludo,

[gdonoso94]

Re: Duda puntual (a la par que vital) sobre espacio cociente

Lo has explicado perfectamente. Muchas gracias Ángel.