1r ciclo Campo Vectorial y funcion vectorial

[Clarck Luis]

Hola con todos, mi duda es puntual. ¿Cual es la diferencia de un campo vectorial y una función vectorial? Leo los libros y busco por internet pero nadie dice claramente cual es la diferencia.
Lo único que he podido rescatar de todo lo que he revisado es que:
Una función vectorial asigna un vector a un numero real
Un campo vectorial asigna un vector a un punto en el plano o espacio

Primero que no entiendo a que se refiere con "numero real", se supone que cuando parametrizo una función escalar la puedo transformar en una función vectorial. Suponiendo que dicho parámetro es "t", para cada valor que tome "t" se le asigna un vector a un punto. Y no es lo mismo con la definición del campo vectorial? "a cada punto se le asigna un vector". Estoy demasiado confundido, por la simple definición ambos parecen ser lo mismo. Si alguien me puede aclarar esto, estaría muy agradecido.

[oscarmuinhos]

Re: Campo Vectorial y funcion vectorial

Función vectorial:a cada valor de la variable asocia un vector o magnitud vectorial que puede ser de dos dimensiones, de tres, de cuatro, ...Por supuesto, la variable de la función también puede ser de una variable, de dos variables, de tres, etc..

Campo vectorial (definido en una región del espacio): cuando a cada punto de una región del espacio (que puede ser una región unidimensional, bidimensional, tridimensional, y, -en el caso de hiperespacios, pues también de mayor dimensión) le asocia un vector o magnitud vectorial (que podrá ser de dos dimensiones, de tres, etc). Hasta aquí se trata pues de una función vectorial, pero en el caso de ser campo vectorial, se le impone la condición de ser uniforme, continua y sucesivamente derivable con sus derivadas continuas. Cuando menos, se le requiere que tenga derivadas primeras y que estás sean continuas.

Así lo he entendido yo cuando me tocó pelearme con estos conceptos...

[abuelillo]

Re: Campo Vectorial y funcion vectorial

No hay diferencia, son sinonimos.

Una función vectorial asigna un vector a un numero real

Si usas esa definicion tan restringida para una funcion vectorial (que el dominio solo puede ser R y no vale R²,R³,etc), en ese caso todas las funciones vectoriales definen campos vectoriales, pero no todos los campos vectoriales son funciones vectoriales.

[oscarmuinhos]

Re: Campo Vectorial y funcion vectorial

No hay diferencia, son sinonimos.

Disculpa abuelillo, pero tal como yo lo entiendo no son sinónimos: desde lo que yo aprendí todos los campos vectoriales son funciones vectoriales, pero no todos las funciones vectoriales son campos, porque para aquellas poder ser campo vectorial se les exige además de que sean uniformes, que sean continuas y derivables y con las primeras derivadas también continuas (por supuesto dentro de la región del espacio unidimensional, tridimensional, tetradimensional,...en la que se define el campo). Esta condición de continuidad y derivabilidad no tiene porque exigírseles a todas las funciones vectoriales, pero sí a las que definan un campo vectorial. Y esta condición se impone para asegurarse que pueden aplicarse los teoremas diferenciales del cálculo: teorema de Stokes, de Gauss, etc, )

[abuelillo]

Re: Campo Vectorial y funcion vectorial

A mi entender esa sería una definicion menos generica, pero que pasa si tenemos lo que seria algo como un campo vectorial pero que no es diferenciable, como le llamamos a eso ?
Pues normalmente se le llaman campos vectoriales no diferenciables. Seria un poco incoherente llamarle a una cosa "campo vectorial no diferenciable" y la vez decir que no se trata de un "campo vectorial"

[oscarmuinhos]

Re: Campo Vectorial y funcion vectorial

A mi entender esa sería una definicion menos generica, pero que pasa si tenemos lo que seria algo como un campo vectorial pero que no es diferenciable, como le llamamos a eso ?
Pues normalmente se le llaman campos vectoriales no diferenciables. Seria un poco incoherente llamarle a una cosa "campo vectorial no diferenciable" y la vez decir que no se trata de un "campo vectorial"

Cierto que todo es cuestión de definiciones:
Con la definición que yo he puesto, pues sería simplemente una función vectorial.
Si, en todo caso, convenimos en llamar campo vectorial a una función vectorial no diferenciable, de nada nos servirían para ella los teoremas de la divergencia, del rotacional, etc, o sea que....algún adjetivo habría que utilizar para diferenciar unas y otras

[Clarck Luis]

Re: Campo Vectorial y funcion vectorial

Gracias a ambos, pues comprendo a que se refieren y comparto algo de ambas opiniones. Me resulta raro que los libros de calculo y análisis vectorial no especifiquen la diferencia fundamental. Ya que es una confusión común relacionar ambos conceptos. Espero alguien mas pueda dar su opinión para tenerlo mas claro.
Por lo que he leído, esto es lo que entiendo por ahora:

-Funcion vectorial para R3:

$\alpha(x)=(f(t);g(t);h(t))$ Esta regla asigna un vector en el espacio a cada elemento del dominio

-Campo vectorial para R3:

$F(x,y,z)= (M(x,y,z);N(x,y,z);P(x,y,z))$ Es una función que asigna un vector a cada punto en su dominio, pero ademas debe ser uniforme,continua y sucesivamente derivable.

PD: Lo que menciona oscar no lo puedo asumir del todo, ya que he leído en un libro el siguiente enunciado "El campo es continuo si las funciones componentes M, N y P son continuas, es derivable si cada una de las funciones componentes son derivables", esto me lleva a pensar que existen campos que no son derivables, ya que no lo menciona como una condición para ser campo vectorial, sino mas bien como una posibilidad. Puede que este malinterpretando alguno de los conceptos, espero alguien mas pueda dejar su granito de arena para entenderlo mejor.

[leo_ro]

Re: Campo Vectorial y funcion vectorial

En realidad, a mi entender campo vectorial=función vectorial. Entendamos que una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto denominado dominio un único elemento de otro conjunto denominado imagen. El concepto de campo es que a cada elemento del espacio se le asigna una magnitud ya sea escalar o vectorial. Es decir, es una función, con la diferencia que su dominio es el espacio ${R}^{3}$ o el plano ${R}^{2}$.
Resumiendo, la diferencia reside en la aplicación práctica, por utilidad. .

-Funcion vectorial para R3:

Esta regla asigna un vector en el espacio a cada elemento del dominio

El dominio de $\alpha$ es $t \in R$. Aunque esta función también puede ser uniforme, continua y sucecivamente diferenciable. Por ejemplo una $\alpha(t)= x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}$ puede ser una posición, por ejemplo una trayectoria continua, su derivada es la velocidad y su dereivada segunda la aceleración. Por lo que no creo que las 3 condiciones de uniforma, continua y diferenciable sean discriminantes de campo y función.

[Clarck Luis]

Re: Campo Vectorial y funcion vectorial

Pues, he leído por ahí que un campo vectorial es una función vectorial, y eso no lo discuto. Pero no ocurre lo inverso necesariamente, "una función vectorial no siempre es un campo vectorial". Este ultimo enunciado es el que me confunde, esto implica que tanto el campo vectorial como la función vectorial deben tener una diferencia fundamental no solo como concepto o aplicación, sino también en el análisis matemático. Si estoy en lo cierto en lo que digo, ¿cual es esa diferencia?

[visitante20160513]

Re: Campo Vectorial y funcion vectorial

Para mi son la misma cosa. Aunque quizás la palabra campo da a entender un concepto algo más físico, es decir algo más geométrico, haciendo referencia a que su dominio es geométrico es decir es un dominio formado por puntos, pero en cualquier caso un campo siempre será una función vectorial. Ahora bien me gustaría ver un ejemplo del contrario, es decir una función vectorial que no sea un campo.

- - - Actualizado - - -

También hay que tener en cuenta que la palabra campo puede tener distintos significados según el entorno en que se considere.

[abuelillo]

Re: Campo Vectorial y funcion vectorial

Pues, he leído por ahí que un campo vectorial es una función vectorial, y eso no lo discuto. Pero no ocurre lo inverso necesariamente, "una función vectorial no siempre es un campo vectorial". Este ultimo enunciado es el que me confunde, esto implica que tanto el campo vectorial como la función vectorial deben tener una diferencia fundamental no solo como concepto o aplicación, sino también en el análisis matemático. Si estoy en lo cierto en lo que digo, ¿cual es esa diferencia?

Seria interesante que algun matematico anduviese por aqui porque creo que para ver cierta diferencia habria que ir a la definicion matematica/topologica de campo vectorial, y empezar a hablar de fibrados y espacios tangentes y la de dios es cristo. Creo que llamar a algo campo vectorial o no depende de considerar que el dominio se corresponde con cierta estructura topologica. Asi es como yo lo entiendo, pero no estoy seguro de que lo que voy a decir es completamente correcto:

Un campo vectorial consiste en asignar a cada punto de una tabla de coordenadas de una cierta variedad matematica, un vector tangente a la superficie de la variedad en ese punto.

Por ejemplo, tenemos una funcion que mapea R² => R² , el dominio de la funcion es de dos dimensiones, pero puedes considerar que ese dominio define una tabla de coordenadas de longitud y latitud que se corresponden con los puntos de una variedad curva en R³ por ejemplo la superficie de la tierra.
Si elegimos un punto de la superficie de la tierra podemos trazar infinitos vectores tangentes a la superficie en ese punto, y el conjunto de todos esos vectores forman un espacio plano/euclideo. Asi que un campo asigna a cada punto de longitud/latitud un vector tangente de esos.

Si la superficie de la variedad no es "suave" y "continua" y no se puede derivar en ciertos puntos podria no tener vectores tangentes a la superficie en esos puntos de modo que no podrias crear un campo vectorial, o quizas mejor dicho el mapeado que hagas no se podria llamar estrictamente campo vectorial.
De esto se derivan las propiedades que Oscar comentó que tiene que tener el campo vectorial.

[leo_ro]

Re: Campo Vectorial y funcion vectorial

A lo que me refería es tal cual como dice jobato. Por ejemplo la función vectorial paramétrica $\vec{r}(t)=<x(t);y(t);z(t)>$, representa una curva en el espacio. Pero yo nunca he escuchado que se hable de campo de posición (aunque nada impide que lo llame así). Otro ejemplo es una superficie dada en forma paramétrica $\vec{s}(u,v)=<x(u,v);y(u,v);z(u,v)>$ que es una función vectorial $s: {R}^{2}\to {R}^{3}$ pero tampoco he escuchado que se la llame campo. Será porque el dominio está en un plano diferente, es decir, que no está incluido en el espacio cartesiano. Por lo que $u$ y $v$ son parámetros cualesquiera.
Ahora a la función de temperatura de una chapa la cual uno de sus extremos hay una llama. La temperatura de la chapa sería: $T(x,y)=f(x,y)$. ahora si se habla de campo de temperatura. ¿Será porque está presente en el dominio las variables $x$ y $y$ que las relacionamos directamente con el espacio métrico? Estoy seguro que sí. A esto me refería que la diferencia radicaba en lo práctico, lo físico mas que en lo matemático.