1r ciclo Hallar aplicación lineal con coordenadas

[javirk]

Hola, ¿me podríais decir si he hecho bien este ejercicio? No estoy seguro:
El ejercicio dice:
"Sea $f: Q^2\to Q^2$ lineal cuya matriz coordenada en bases ${(1,1), (1,0)}$ y ${(1,2), (2,1)}$ es $\begin{pmatrix}0&2 \\1&1\end{pmatrix}$. Hallar $f(x,y)$"

Yo he hecho:
$(1,1)$ tiene coordenadas $(0,1)$ en la base ${(1,2), (2,1)}$
$f((1,1))$ tiene coordenadas $\begin{pmatrix}0&2 \\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\1\end{pmatrix}$ en la base ${(1,2), (2,1)}$

$(1,0)$tiene coordenadas $(2,1)$ en la base ${(1,2), (2,1)}$
$f((1,0))$ tiene coordenadas $\begin{pmatrix}0&2 \\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\3\end{pmatrix}$ en la base ${(1,2), (2,1)}$

Entonces:
$f((1,1)) = 2(1,2) + 1(2,1) = (4,5)$
$f((1,0)) = 2(1,2) + 3(2,1) = (8,7)$

Y ya hallar $f(x,y)$ es fácil con eso.

¿Está bien?

Gracias!

[abuelillo]

Re: Hallar aplicación lineal con coordenadas

Entiendo que el ejercicio enuncia lo siguiente (si lo he interpretado mal todo lo que viene a continuacion no sirve para nada), dadas las siguientes matrices:
$<br /> A=\begin{pmatrix}1&1 \\1&0\end{pmatrix} <br /> B=\begin{pmatrix}1&2 \\2&1\end{pmatrix}<br /> T=\begin{pmatrix}0&2 \\1&1\end{pmatrix}<br />$
Donde A,B son dos bases vectoriales y T es una transformacion lineal que se aplica a vectores en base A y nos da otros vectores pero en base B.
El ejercicio viene a pedir que se calcule la matriz que haga la misma transformación pero con vectores expresados en base canonica.

Luego tenemos que T transformaria un vector en otro de la siguiente forma:

$(1) \quad u_b = T v_a$

Donde $v_a$ es un vector con coordenadas en base A y $u_b$ seria otro vector pero con coordenadas en base B.
Pero lo que nos interesa es una matriz $T_{c}$ que haga la siguiente transformacion:

$(2) \quad u_c = T_{c}v_c$

Donde ahora $v_c$ y $u_c$ son los mismos vectores $v_a$ y $u_b$ pero expresados en coordenadas canonicas, de modo que:

$v_c = A v_a \Rightarrow v_a=A^{-1}v_c$

$u_c= B u_b \Rightarrow u_b=B^{-1}u_c$

Sustituyendo en (1) y despejando $u_c$:

$u_b = T v_a \Rightarrow B^{-1}u_c = TA^{-1}v_c \Rightarrow BB^{-1}u_c = BTA^{-1}v_c$

Con lo que finalmente llegamos a la expresion que nos interesa que nos relaciona los vectores pero en coordenadas canonicas:

$u_c = BTA^{-1}v_c$

Y de la expresion (2) ya deducimos el valor de $T_{c}$:

$T_{c} = BTA^{-1}$

Ahora sabiendo la matriz $T_{c}$ calcular la expresion de la aplicacion lineal es directo:

$\begin{pmatrix}f_x\\f_y\end{pmatrix} = T_{c}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Otra forma mas directa de deducir que $T_{c}= BTA^{-1}$ seria: Partimos de un vector (x,y) en base canonica y le queremos aplicar la transformacion lineal T, pero T como "entrada" solo admite vectores en base A, asi que:
1. Convertimos el vector (x,y) a la base A, es decir lo multiplicamos por la inversa de A.
2. El vector en base A ya lo podemos multiplicar por la matrix T, pero T nos da un vector en base B y nos interesa un vector en base canonica asi que:
3. Convertimos el vector resultante a la base canonica, es decir lo multiplicamos por B.
Con lo que enlazando las multiplicaciones de matrices nos sale el mismo resultado de antes:

$\begin{pmatrix}f_x\\f_y\end{pmatrix} = BTA^{-1}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$