1r ciclo Ejercicio de Álgebra Lineal

[markitos94]

Hola, a ver si alguien me pude orientar un poco por dónde tirar con este ejercicio.

Me piden determinar, si es posible, un cuerpo que convierta a estos conjuntos en espacio vectorial y justificar con detalle las operaciones realizadas.


Y el apartado en el que me he atascado (no sé por dónde empezar) es este.

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Se me olvidaba...gracias de antemano y un saludo!

[Rodri]

Re: Ejercicio de Álgebra Lineal

Yo diría que el cuerpo buscado es C, conjunto de los números complejos.

El conjunto de las funciones del enunciado ya posee las propiedades necesarias respecto a la operación interna suma. Solo falta definir la operación de producto de una función del conjunto ("vector") por un elemento del cuerpo en cuestión ("escalar"). Está claro que tomando C para ese cuerpo, se cumple que si c1 y c2 son dos elementos pertenecientes a C y f1 y f2 dos funciones pertenecientes al conjunto del enunciado, entonces c1f1+c2f2 pertenecen también al conjunto (aplica R-->C y satisface la ecuación también). Por tanto dicho conjunto tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo C.

Por cierto, la ecuación del enunciado es la ecuación de Schrödinger de la Mecánica Cuántica (tomando $\frac{\hbar^{2}}{2m}=1$) , en una dimensión, para el potencial V(x). Las funciones que la satisfacen representan estados estacionarios de energía E en ese problema concreto. El espacio vectorial sería por tanto el de los estados estacionarios del nivel E en un potencial V(x), suponiendo que existan, es decir, que E sea en efecto un autovalor de la ecuación. Si la dimensión del espacio es mayor que uno, se trataría de un nivel degenerado.