1r ciclo Problema aplicación lineal

[AhmirM]

Hola, estaba haciendo unos ejercicios de álgebra lineal, y me encontré con este:

Si $f$ es un endomorfismo de ${R}^{4}$ tal que ker(f)=A, f(e1)=(1,0,1,1), f(e2)=(1,-2,1,-1), calcular f(e3) y f(e4).

Siendo A=L{(v1,v2)}, v1=(1,-1,1,0), v2=(0,-1,0,1).


En la solución dice lo siguiente:
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${e}_{ 3}={\lambda}_{1}{e}_{ 1}+{\lambda}_{2}{e}_{ 2}+{\lambda}_{3}{v}_{ 1}+{\lambda}_{4}{v}_{ 2}$
${e}_{ 4}={\mu}_{1}{e}_{ 1}+{\mu}_{2}{e}_{ 2}+{\mu}_{3}{v}_{ 1}+{\mu}_{4}{v}_{ 2}$

y que de ''ahí'' se deduce que ${\lambda}_{1}=-1, {\lambda}_{2}= {\lambda}_{3}=1, ...etc$

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¿Cómo saca esos valores de lambda y mu? me pierdo ahí.

Espero que me echéis una mano..

Saludos

[Rodri]

Re: Problema aplicación lineal

Te doy dos pistas para plantear el problema desde cero:

Método 1: puedes intentar resolverlo de forma "metódica" teniendo en cuenta que el enunciado te está dando la matriz del endomorfismo en la base {e1,e2,v1,v2}. Usando el cambio de base {e1,e2,v1,v2} --> {e1,e2,e3,e4} (mediante la matriz correspondiente) puedes deducir la matriz del endomorfismo en la base {e1,e2,e3,e4}

Método 2: (el que tú has comenzado a poner en tu mensaje) Tienes f(e1), f(e2), f(u1) y f(u2). Intenta hallar los coeficientes de la combinación lineal que te da e3 y e4 en la base {e1,e2,v1,v2} y aplicando el concepto de linealidad serán también los coeficientes que te dan f(e3) y f(e4) como combinación lineal de {f(e1), f(e2), f(v1), f(v2)}.

Esos coeficientes son lambda y mu. Los puedes obtener "a ojo" por inspección, y si no lo ves, mediante la construcción de la matriz de cambio de base de la que te hablo en el método 1.

[AhmirM]

Re: Problema aplicación lineal

Pff.. agradezco tu respuesta pero no me entero de nada, acabo de empezar este tema y no sé lo que me dices. Tengo delante la solución al problema pero justo en este paso:
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''${e}_{ 3}={\lambda}_{1}{e}_{ 1}+{\lambda}_{2}{e}_{ 2}+{\lambda}_{3}{v}_{ 1}+{\lambda}_{4}{v}_{ 2}$
${e}_{ 4}={\mu}_{1}{e}_{ 1}+{\mu}_{2}{e}_{ 2}+{\mu}_{3}{v}_{ 1}+{\mu}_{4}{v}_{ 2}$

y que de ''ahí'' se deduce que ${\lambda}_{1}=-1, {\lambda}_{2}= {\lambda}_{3}=1, ...etc$''
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me pierdo, porque no sé de dónde saca lambda ni mu sin hacer ningún otro paso, tampoco lo intuyo como tu dices, será porque acabo de empezar con este tema ayer...
No me apetece seguir el problema y darlo por hecho sin entender este paso, he intentado poner los valores de los vectores v1 v2 e1 e2 etc y nada.. no consigo entenderlo..

[Rodri]

Re: Problema aplicación lineal

Te aconsejo que repases el concepto de combinación lineal.

Te haré ver cómo se deducen los coeficientes que dices.

Buscamos unos coeficientes con los que expresar el vector e4 como combinación lineal de {e1,e2,v1,v2}:

es decir, buscamos $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, $\lambda_{3}$ y $\lambda_{4}$, tales que

$e3 = \lambda_{1}e1 + \lambda_{2}e2 + \lambda_{3}v1 + \lambda_{4}v2$


¿Hasta aquí ok?

Bueno, pues ahora escribimos esto mismo en forma de vectores columna y obtenemos un sistema de ecuaciones:

$0 = \lambda_{1} 1 + \lambda_{2} 0 + \lambda_{3} 1 + \lambda_{4} 1$
$0 = \lambda_{1} 0 + \lambda_{2} 1 + \lambda_{3} (-1) + \lambda_{4} (-2)$
$1 = \lambda_{1} 0 + \lambda_{2} 0 + \lambda_{3} 1 + \lambda_{4} 1$
$0 = \lambda_{1} 0 + \lambda_{2} 0 + \lambda_{3} 0 + \lambda_{4} (-1)$

Es un sistema lineal de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (las cuatro lambdas). Resolviéndolo salen las lambdas.

Con un poco de vista también se pueden sacar las lambdas sin necesidad de plantear el sistema de ecuaciones (es decir, resolviendo este sistema "a ojo")

Luego sigue mis indicaciones del mensaje anterior, es decir, por la linealidad sabemos que

$f(e3) = f( \lambda_{1}e1 + \lambda_{2}e2 + \lambda_{3}v1 + \lambda_{4}v2) = f(\lambda_{1})e1 + f(\lambda_{2})e2 + f(\lambda_{3})v1 + f(\lambda_{4})v2$

Y date cuenta que el enunciado ya te dice cuánto valen los f(e1), f(e2) f(v1) y f(v2). Por tanto sacas f(e3).


Para calcular f(e4) sigues el mismo método.

Una vez que tengas f(e3) y f(e4), y como ya conocías f(e1) y f(e2) por el enunciado, ya tienes la matriz del endomorfismo

[AhmirM]

Re: Problema aplicación lineal

Una cosita, al escribir esto:

$0 = \lambda_{1} 1 + \lambda_{2} 0 + \lambda_{3} 1 + \lambda_{4} 1$
$0 = \lambda_{1} 0 + \lambda_{2} 1 + \lambda_{3} (-1) + \lambda_{4} (-2)$
$1 = \lambda_{1} 0 + \lambda_{2} 0 + \lambda_{3} 1 +\lambda_{4} 1$
$0 = \lambda_{1} 0 + \lambda_{2} 0 + \lambda_{3} 0 + \lambda_{4} (-1)$

¿No te has equivocado en el último vector? me refiero al ''(1,-2,1,-1)'' no sería (0,-1,0,1)? Perdóname si me equivoco.

[Rodri]

Re: Problema aplicación lineal

Una cosita, al escribir esto:

$0 = \lambda_{1} 1 + \lambda_{2} 0 + \lambda_{3} 1 + \lambda_{4} 1$
$0 = \lambda_{1} 0 + \lambda_{2} 1 + \lambda_{3} (-1) + \lambda_{4} (-2)$
$1 = \lambda_{1} 0 + \lambda_{2} 0 + \lambda_{3} 1 +\lambda_{4} 1$
$0 = \lambda_{1} 0 + \lambda_{2} 0 + \lambda_{3} 0 + \lambda_{4} (-1)$

¿No te has equivocado en el último vector? me refiero al ''(1,-2,1,-1)'' no sería (0,-1,0,1)? Perdóname si me equivoco.

Sí, tienes razón. Discúlpame. Bueno, te podría decir que lo he hecho a posta para ver si seguías el razonamiento jejeje

[AhmirM]

Re: Problema aplicación lineal

Jajajaja, por si estaba atento, vale.

Muchísimas gracias, lo he pillado, eres un genio