1r ciclo De aplicaciones lineales

[sater]

Buenas, estudiando sobre aplicaciones lineales me surgen dos dudas de sus ejemplos, que copio a continuación.

·Si $B={u_1,...,u_n}\subset V$ es una base de V, la aplicación $f: V \rightarrow \mathbb{K}^{n}$ dada por $f(u)=[u]_B$ que a cada vector de V le hace corresponder sus coordenadas respecto a la base B, es lineal y biyectiva.

·Fórmula de las dimensiones: si $f: U \rightarrow V$ es lineal y U tiene dimensión finita se tiene
$dim(U) = dim\: Nuc(f) + dim\: Im(f)$


A ver, la primera no se si será un error de notación o algo, no se supone que f se aplica sobre el espacio V y los devuelve en $\mathbb{K}^{n}$? Puede ser que sea $f(v)=[v]_B$?

Y la segunda intento pensar un ejemplo para entenderlo pero nada.

Otra dudilla que creo que al final he aclarado, se habla de que una aplicación lineal es biyectiva si su núcleo es cero, pero al principio se me ocurrían funciones inyectivas cuyo núcleo no era cero, pero no pasaban por el origen, entonces no son aplicaciones lineales no? No cumplen que $f(x+y)=f(x)+f(y)$. ¿Es eso?

[angel relativamente]

Re: De aplicaciones lineales

A ver, la primera no se si será un error de notación o algo, no se supone que f se aplica sobre el espacio V y los devuelve en ? Puede ser que sea ?

O $f(x)=[x]_B$ si te empeñas. Supongo que a lo que hace referencia tu texto es a un vector genérico $u \in V$, y $[u]_B$ es ese vector de u de V expresada en la base de las $u_i$ (tiene lógica que le llame $u$ si ha denotado con $u_i$ la base).

Y la segunda intento pensar un ejemplo para entenderlo pero nada.

Pues es una fórmula tan general que basta que pienses en cualquier aplicación lineal, le calcules el núcleo y la imagen y compruebes que funciona. Empiezo yo con una trivial: La aplicación identidad en $\mathbb{R}^n$ (que a cada vector le asocia el mismo). La imagen es todo $R^{n}$ (ya que cualquier vector está en su dominio) y el núcleo solo tiene un elemento, el $\vec 0$. Por tanto la dimensión de la imagen es n y la del núcleo es 0, y n=n+0

Otra dudilla que creo que al final he aclarado, se habla de que una aplicación lineal es biyectiva si su núcleo es cero, pero al principio se me ocurrían funciones inyectivas cuyo núcleo no era cero, pero no pasaban por el origen, entonces no son aplicaciones lineales no?

Cualquier aplicación lineal ha de cumplir que $f(\vec 0)= \vec 0$, ya que $f(\vec 0) = f ( \vec 0 + \vec 0) = f(\vec 0) + f (\vec 0) = 2 f(\vec 0) \Rightarrow f(\vec 0)=\vec 0$. En concreto las que van de R en R también y por tanto si no pasan por el origen automáticamente no son lineales.


Espero haberte aclarado. Un saludo,

[sater]

Re: De aplicaciones lineales

Muchas gracias, ahora creo que sí =)