1r ciclo Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, traigo el siguiente ejercicio



La duda surge en cómo abordar el problema. Tengo más o menos una ligera idea y es, con la condición 1 y la base canónica, sacar la matriz de la aplicación lineal con parámetros y, a partir de ahí, hacer las operaciones para obtener el núcleo y la imagen (te las dan en las condiciones b y c) y ya pues comparar y sacar los parámetros a, b, c y d. ¿Qué opináis? ¿Es viable?

Un saludo y gracias anticipadas

[juan lopez]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

La matriz canonica la obtienes combinando las condiciones hasta obtener los vectores de la base canonica . Si no hice mal los cálculos te da en columnas
a-3,-1,b+1,c-e
a-1,0,b+2,c-e
2a-6,-2-d,2b,2c-2e+2
3,1,-1,e
Ahora con el nucleo , la imagen y las cartesianas de la aplicación lineal planteas un sistema y resuelves

[SCHRODINGER27]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

Cuando ya tengo el núcleo, la imagen y la matriz de f en la base canónica, ¿cómo obtengo las ecuaciones cartesianas de la aplicación lineal?
¿Cómo tengo que seguir?

Añado resultado de f en la base canónica aunque no me de lo mismo, en columnas:
a-3, -1, 1+b, c-e
a+3, 2, 4+b, c-e
2a+6, 4-3d, 5+2b, 2c-2e+6
2a+3, 1, 2b-1,e+2c

Gracias

[oscarmuinhos]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

Hola SCHRONDINGER27
Yo tendré que repasar mis cálculos (ahora no tengo tiempo) porque la matriz que obtengo no coincide ni con la de juan lopez ni con la que pones tú:coincido solamente con las dos primeras filas de juan. Lo repasaré.
Pero el método sería el que indicas tú:
.Obtenida la matriz de f en parámetros, determinas la base del núcleo de f resolviendo el sistema de ecuaciones ( yo obtuve Nuc(f)= {v \epsilony R_4/ \lambda.(0, 0, 3, -2)}) hallas la imagen de dicha base. Con ello se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones con los parámetros a, b, c, d y e.
Otra (u otras) ecuaciones pueden hacerse poniendo alguno de los vectores de la base de imagen de f que da el enunciado como combinación lineal de los vectores imagen (criterio 1) y tendrías otro (u otros) sistema de ecuaciones.
Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

Yo he obtenido Nucleo(f) = (0,-3,2,0)

Tras resolver el sistema de ecuaciones de f en la base canónica con los parámetros, me da z=0, t=0, x=2y, pero no estoy seguro de si está bien o no.

Gracias

[sater]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

La matriz canonica la obtienes combinando las condiciones hasta obtener los vectores de la base canonica .

¿A qué condiciones te refieres? No entiendo bien

[juan lopez]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen



- - - Actualizado - - -

Hola SCHORODINGER27:
Este es el ejercicio, si tienes alguna duda del planteamiento me preguntas

[oscarmuinhos]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

Yo he obtenido Nucleo(f) = (0,-3,2,0)
Tras resolver el sistema de ecuaciones de f en la base canónica con los parámetros, me da z=0, t=0, x=2y, pero no estoy seguro de si está bien o no.
Gracias

Hola
Disculpas SCHRODINGER27. En mi post anterior me equivoqué en el orden de las coordenadas: Núcleo(f) = ${v \epsilony R_4/ \lambda.(0, 3, -2, 0)}$ cuya base puede ser $\vec{u}=(0, 3, -2, 0)$ o cualquier otro vector del Núcleo(f) como el tú pones (que se obtiene de la que pongo yo con solo multiplicar por $\lambda=-1$

De todas formas, acaba de poner la solución juan lopez

Saludos

[sater]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

Una dudilla. Como las imágenes de f deben estar formadas por combinaciones lineales de los vectores de la base de la imagen, se puede hacer un sistema con tres parámetros haciendo combinaciones lineales para sacar cada vector de las imágenes de f. Así llego por ejemplo a $e=5$ que es el que he probado. Lo unico malo sería que quedaran cinco incógnitas para cuatro ecuaciones, pero al haber tantos ceros podría haber suerte. Mi duda es si este procedimiento es válido.
Un saludo

[juan lopez]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

Hola:el ejercicio se puede hacer de muchas maneras,pero para mi la más corta es la que hice.Conseguir las cl que tu dices es un poco complicado y te hace falta utilizar el vector del nucleo.Un saludo

[SCHRODINGER27]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

Tengo una última duda respecto a la solución que subió Juan Lopez.
En el apartado c), tras calcularse las ecuaciones implícitas de la imagen, lo que va más abajo con los vectores (1,0,-2,e) y (a,0,b,c) para calcular finalmente las últimas incógnitas, no entiendo muy bien lo que Juan Lopez hizo.

Muchas gracias

[juan lopez]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

Hola:sustituyó dos vectores del espacio de llegada en la cartesiana .Un saludo

[SCHRODINGER27]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

Sí, se cogen vectores de salida de la función implícita, pero por ejemplo, que a= c+2b y que 1= e-4, ¿de dónde sale?
Perdón por la insistencia, pero es que no consigo verlo.

Muchas gracias

[oscarmuinhos]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

Hola
Lo que te dice Juan. Cogió dos vectores del criterio 1 que sabe, pues, que pertenecen al conjunto Im(f) y les aplica la condición (hallada más arriba) que han de cumplir estos vectores para que pertenezcan al conjunto imagen: x = 2z + t

Toma el vector (1,0,-2,e) $\epsilon$ Im(f) (del criterio 1) y le aplica la condición anterior. Por lo tanto 1 = 2.(-2) +e, de donde e = 5

Toma el vector (a, 0, b, c) $\epsilon$ Im(f) (del criterio 1) y le aplica la misma condición. Por lo tanto: a = 2.b + c. Y como ya conoce a y b (a partir de conocer una base del núcleo) calcula el otro parámetro, c, que le queda por hallar.

Saludos

[sater]

Re: Aplicación lineal con parámetros. Núcleo e imagen

Yo al final lo he hecho de otra forma. Mañana la comento si interesa con tranquilidad. Saludos =)