1r ciclo Base ortogonal

[fadedu]

Hola a todos,

Sabemos que dos vectores $\vec{a},\vec{b}$ forman una base $W$ y queremos determinar $W^{\perp}$, su complemento ortogonal.

Mi idea era la siguiente: $\vec{a},\vec{b}$ forman $W$, pero ya que $W^{\perp}$ es perpendicular a $W$ (como muestra el esquema abajo), deduje que $\vec{b}$ debía de ser común a ambos planos. Por lo tanto $W^{\perp}$ sería formada (spanneada?) por Span{$\vec{b}$,$\vec{c}$}. Para hallar $\vec{c}$ sólo haría falta seguir el proceso Gram-Schmidt de tal forma que:

$\vec{c}=\vec{a}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\vec{a}$





Obviamente está mal, pero no entiendo dónde. Esta asignatura me trae por la calle de la amargura...

Gracias de antemano.

[gdonoso94]

Re: Base ortogonal

Está mal porque ese vector c que estás escribiendo va en la dirección del vector a, por tanto no es ortogonal. El complemento ortogonal de cualquier subespacio tiene ecuaciones dadas por el producto escalar de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por los vectores de la base e igual a cero, es decir:

$$\dst W^\perp =\left\{ \vec{x}\,\backslash\,\vec{x}\cdot \vec{u_i} =0\right\}$$

Donde los $u_i$ son vectores que forman una base de $W$.

Un saludo.

[fadedu]

Re: Base ortogonal

Hola y gracias por la respuesta, gdonoso94, pero no acabo de entender del todo la fórmula que has escrito, ¿cómo se aplicaría al ejercicio que he expuesto?

Por otra parte, ¿qué hace el proceso Gram-Schmidt exactamente y cómo se puede entender gráficamente? Según mi libro ''es un simple algoritmo para producir una base ortogonal para cualquier subespacio'', pero por lo que dices tú y mi profesor, el vector resultante va en la dirección de uno de los vectores originales (oséase, no ortogonal)

Gracias.

[gdonoso94]

Re: Base ortogonal

Hola de nuevo:

La fórmula que te he escrito es muy sencilla de aplicar. Centrémonos en tu ejercicio. Supongamos que $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ y que $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$. La forma de obtener el complemento ortogonal sería la siguiente:

$$\dst \vec{x}\cdot \vec{a}=0\longrightarrow (x,y,z)\cdot (a_1,a_2,a_3)=a_1x+a_2y+a_3z=0$$

Repites el procedimiento con el vector b y obtendrás otras ecuaciones. La solución del sistema que forman ambas ecuaciones es el vector que forma una base del complemento ortogonal (en este caso será un sólo vector porque trabajamos en dimensión 3, o eso creo).

En cuanto al procedimiento de Gram-Schmidt geométricamente (a ver si consigo explicarme, porque no es mi fuerte la geometría :P):

Partimos de esta imagen tomada de Wikipedia:



Este método sirve para ortogonalizar vectores (u ortonormalizar, según necesitemos). Para ello tomamos como primer vector uno aleatorio, en este caso $\vec v_1$. Nombraremos a los vectores ortogonalizados con la letra u, es decir [/TEX]\vec u_i[/TEX]. Bien, por ahora tenemos:

$\dst \vec u_1=\vec v_1$

Ahora, siguiendo el procedimiento obtendríamos $u_2$:

$\dst \vec u_2=\vec v_2-\frac{\vec u_1\cdot\vec v_2}{\vec u_1\cdot \vec u_1}\cdot \vec u_1$

Bien, analicemos la parte de después del signo menos en el segundo miembro. Ese término no es más que la proyección del vector $\vec v_2$ sobre el vector $\vec u_1$, con lo que obtenemos otro vector en la dirección de $\vec u_1$. Nombremos a este vector tan feo con el nombre $\vec w$:

$\dst \vec{w}= \frac{\vec u_1\cdot \vec v_2}{\vec u_1\cdot \vec u_1}\cdot \vec u_1$

Por tanto, tenemos:

$\dst \vec u_2=\vec v_2-\vec w$

¿Pero esto qué es? Pasa al lado izquierdo de la igualdad el vector $\vec w$. ¡Es sencillamente la descomposición de $\vec v_2$ en suma de dos vectores!

Bueno, el procedimiento en más dimensiones es análogo, pero algo más teodioso de dibujar. Espero que con esto te hagas una ligera idea de en qué consiste el procedimiento. Si tienes alguna duda más, vuelve a preguntar.

Un saludo.

P.D: Además, si te das cuenta, no puedes utilizar el método que tú has puesto ya que no dispones de los vectores necesarios para ortogonalizarlos, necesitarías tres vectores (aunque siempre puedes sacar un vector ortogonal a ambos mediante el producto escalar entre ellos...).

[fadedu]

Re: Base ortogonal

Muy últil, muchas gracias!