1r ciclo Matriz diagonalizable

[sater]

Buenas. En un ejercicio de un examen de otro año no estoy seguro de como proceder:


Lo primero que hago es hacer operaciones por filas y dejo A con solo t's en la primera fila.
Entonces saco el polinomio característico y me quedan como valores propios t y $\pm 1$.
Ahora para saber si es diagonalizable quiero ver si son iguales la multiplicidad geométrica y algebraica. Y por ejemplo, el subespacio propio igual al núcleo del sistema $\alpha I - A$ con alfa igual a 1 me da un sistema que solo tiene las solucion trivial y ya entonces me pierdo un poco, no sé qué imponer para sacar t.

Alguna ayuda?
gracias de antemano

[Rodri]

Re: Matriz diagonalizable

Quizá me equivoque, pero a mí me sale algo diferente.

Los autovalores de la matriz me salen independientes de t:

$\lambda=-1$ simple, que tiene asociado un subespacio propio de dimensión 1
$\lambda=+1$ doble, que tiene asociado un subespacio propio cuya ecuación es

$\begin{pmatrix} t & -t & 0\\t & -t & 0\\t & 2-t & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}$

Para que este subespacio sea de dimensión 2, y así la matriz original sea diagonalizable, es necesario que el rango de esta última matriz sea 1, lo cual se consigue con $t=0$

De otro modo, el rango de la matriz es 2 y la dimensión del subespacio propio asociado al autovalor doble es 1, con lo que no podemos conseguir una caja diagonal de 2x2 para él y la matriz original no es diagonalizable.

[juan lopez]

Re: Matriz diagonalizable

Hola :
A mi me salen también esos autovalores y con la misma multiplicidad algebraica . Y para que sea diagonalizable , como tienen que coincidir las multiplicidades algebraica y geométrica , el subespacio asociado al autovalor +1 tiene que tener dimensión uno lo cual se cumple para t=0 .
Un saludo

[sater]

Re: Matriz diagonalizable

Una duda, viendo como lo has hecho (Rodri) y viendo vídeos en YouTube veo que se calcula el polinomio característico como $\left\vert{}A-\lambda I \right\vert{}$ cuando en mis apuntes aparece como $\left\vert{}\lambda I - A \right\vert{}$. Supongo (y he probado varios ejemplos) que da lo mismo, ¿Se puede demostrar que siempre da lo mismo para todo $\lambda$? porque lo he intentado y me sale que dependería del tamaño de las matrices con las que estuviéramos operando, no veo el fallo.

[Turing]

Re: Matriz diagonalizable

Una duda, viendo como lo has hecho (Rodri) y viendo vídeos en YouTube veo que se calcula el polinomio característico como $\left\vert{}A-\lambda I \right\vert{}$ cuando en mis apuntes aparece como $\left\vert{}\lambda I - A \right\vert{}$. Supongo (y he probado varios ejemplos) que da lo mismo

Yo creo que la respuesta reside en que te llevan al mismo espacio solución, por lo que puedes usar el que te vaya mas cómodo según el problema.

[Rodri]

Re: Matriz diagonalizable

Una duda, viendo como lo has hecho (Rodri) y viendo vídeos en YouTube veo que se calcula el polinomio característico como $\left\vert{}A-\lambda I \right\vert{}$ cuando en mis apuntes aparece como $\left\vert{}\lambda I - A \right\vert{}$. Supongo (y he probado varios ejemplos) que da lo mismo, ¿Se puede demostrar que siempre da lo mismo para todo $\lambda$? porque lo he intentado y me sale que dependería del tamaño de las matrices con las que estuviéramos operando, no veo el fallo.

Si lo piensas, verás que ambos son el mismo polinomio característico si el espacio (orden de A) es par o con el signo opuesto si el espacio es de dimensión impar , por lo que las raíces (autovalores) son las mismas en cualquier caso.

[sater]

Re: Matriz diagonalizable

Eso es lo que veía, el cambio de signo, y entonces ya me he preocupado (tontamente). Gracias!!