1r ciclo Diagonalización de matrices con parámetros

[SCHRODINGER27]

Hola, tengo dudas con el ejercicio:



Creo, que cuando tenemos 3 valores propios, vamos probando con ellos y vamos viendo los valores de los parámetros. Deberían ser, si tenemos 3 valores propios, cuando hacemos a=5, esa matriz, si tiene rango 3 diagonaliza, ¿no? ¿Es así?

También otra duda, cuando a=-1, ¿no está mal la resolución?, a mí me da que el rango es siempre 2. Y también otra duda, si pone que el rango es 1, ¿por qué diagonaliza?

Un saludo, gracias

[[Beto]]

Re: Diagonalización de matrices con parámetros

Recuerda que $A$ será diagonalizable si $A=P^{-1}DP$, donde $P$ es una matriz cuyas columnas corresponden a los vectores propios de $A$ y $D$ es una matriz diagonal formada por los valores propios de $A$, en este caso particular $\lambda_1=a,\lambda_2=-1,\lambda_3=5$.

Lo que interesa acá como te podrás dar cuenta es encontrar los vectores propios y a partir de ahí $P$, luego de eso se obtiene:

$$P=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1 \\<br /> 1 & 1 & -\frac{b}{2 \, {\left(a - 5\right)}} \\<br /> \frac{a + 1}{b} & 0 & -\frac{3}{a - 5}<br /> \end{array}\right)$$

y cuando $b=0$

$$P=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\cr 0 & 1 & 0\cr 1 & 0 & -\frac{3}{a-5}\end{pmatrix}$$

y como se menciono $P$ tiene que ser invertible para que $A$ sea diagonalizable, basta con que determines bajo que criterios esa matriz es invertible.

[Rodri]

Re: Diagonalización de matrices con parámetros

También otra duda, cuando a=-1, ¿no está mal la resolución?, a mí me da que el rango es siempre 2. Y también otra duda, si pone que el rango es 1, ¿por qué diagonaliza?

Cuando a=-1 en la matriz -I-A has puesto 6 en el elemento central y es un cero. Verás que entonces para b=0 el rango se hace 1.

Al ser el rango 1, el sistema (-I-A)X=0 se reduce a una sola ecuación: x1=0, que es la de un subespacio de dimensión 2 cuyos vectores son autovectores del autovalor -1. Por tanto podemos elegir dos vectores de este subespacio independientes linealmente para añadir a la base en la que A es diagonal: en definitiva dicha base estará formada por un vector del subespacio propio asociado al autovalor -5 y esos dos vectores del subespacio propio asociado al autovalor -1.