1r ciclo Rango de una matriz según un parámetro

[SCHRODINGER27]

Hola, traigo dudas con el problema:



Para que tenga rango 2, tiene que existir un menor de orden dos distinto de cero. Cuando hago todos los posibles (o eso creo), me salen a=0, a=b, cosas así, y con esas premisas, el rango es 1. Hago el determinante 3x3 y me sale a=b, es decir, rango 1. No sé qué hago mal, pero agradecería un poco de ayuda.

Gracias

[[Beto]]

Re: Rango de una matriz según un parámetro

Haz hecho algo mal, si $a=b$ es 2

[Breogan]

Re: Rango de una matriz según un parámetro

Hola:
Llamamos:


$\dst A = \begin{pmatrix}&1 &a &{a^2} \\&1 &a &{ab} \\ &b &{a^2} &{a^2b}\end{pmatrix}$

entonces:

$\dst |A| = 0 \hspace{1 cm} \Leftrightarrow \hspace{1 cm} rang(A)<3$

Para que el determinante de A sea cero se deduce que se debe cumplir que a=0 o a=b.

Para a=0 la matriz queda:

$\dst A = \begin{pmatrix}&1 &0 &{0} \\&1 &0 &{0} \\ &b &{0} &{0}\end{pmatrix}$

en esta se puede ver de forma inmediata que todos los menores de orden 2 son nulos, por lo cual queda que el rango(A)=1.

Para a=b la matriz queda:

$\dst A = \begin{pmatrix}&1 &a &{a^2} \\&1 &a &{a^2} \\ &a &{a^2} &{a^3}\end{pmatrix}$

En esta se ve que las dos primera filas son iguales y que la tercera es igual a una de las anteriores por a, por lo cual hay una sola fila independiente y rang(A)=1.
Si lo queres ver por menores resulta que todos los menores de orden 2 que resultan de extraer la 3º fila son nulos por estar constituidos por dos filas iguales (tres menores) p.e:

$\dst \left| \begin{aligned} &1 &a \\ &1 &a \end{aligned} \right|= 0$

Todos los menores que contengan parte de la tercera fila (seis menores) son nulos porque tendran una fila proporcional a la otra, p.e.:

$\dst \left| \begin{aligned} &1 &a \\ &a &a^2 \end{aligned} \right|= 0$

$\dst \left| \begin{aligned} &1 &a^2 \\ &a &a^3 \end{aligned} \right|= 0$

Como el 1º menor no nulo, es de orden 1 para ambas condiciones, parece lógico suponer que no hay combinaciones de valores de a y b que hagan que rang(A)=2. Es decir que A puede tener rango igual a 3 o a 1, segun los valores de a y b, pero nunca sera de orden 2.

Creo. No soy muy versado en el tema, sería bueno que agun otro forero lo confirmara o no.

s.e.u.o.

Suerte

[[Beto]]

Re: Rango de una matriz según un parámetro

En efecto el rango siempre da 1 si se busca que sea menor a 3, yo cometí un error y fue que escribí la última fila de $A$ como $(b,a,a^2b)$