2o ciclo Aplicación lineal según parámetros

[SCHRODINGER27]

Hola, he intentado plantear este ejercicio y tengo dudas.


Te dice que a y b son 0, entonces no sé muy bien cómo sacarlas dependiendo de esos parámetros.

Siento preguntar tanto, es que no he tenido un profesor claro y conciso.

Gracias y disculpen.

[sater]

Re: Aplicación lineal según parámetros

Para que exista una única, por Teorema, las imágenes de los vectores de una base te determinan la matriz de la aplicación lineal con salida en esa base y llegada en la otra de forma única.
Por lo que tienes que ver para que a forman base, y entonces independientemente de b es única.
Después supón que a=2 (que es el valor que hace que no formen base).
Entonces haz una combinación lineal con los vectores v1,v2,v3 y te sale un sistema compatible indeterminado cuyas ternas x, y, z son los coeficientes que hacen cero la combinación lineal. Como v1,v2 son L.I. siempre puedes ampliar a una base con un v cualquiera que sea L.I. con estos. Coge una terna cualquiera y también debe ser cero la combinación lineal en las imágenes para esa misma terna que hace cero la combinación de v1,v2 y v3. Así sacas que b=2 para ser cero, y entonces hay infinitas aplicaciones. Si fuera distinto de dos, no habría ninguna.
Un saludo

[SCHRODINGER27]

Re: Aplicación lineal según parámetros

No entiendo muy bien, a qué te refieres?

[sater]

Re: Aplicación lineal según parámetros

¿A qué me refiero en qué parte? xD

[hoja en blanco]

Re: Aplicación lineal según parámetros

Hola Schrodinger27 y sater,
Quizás lo que Schrodinger27 no conoce es el teorema que usas como eje central de tu argumento. Es un teorema muy básico en el ámbito de las aplicaciones lineales.
Teorema: Sean $E_1$ y $E_2$ espacios vectoriales sobre un cuerpo de dimensión finita y sea $B=(v_1,...,v_n)$ una base de $E_1$. Sean $u_1,...u_n$ vectores no necesariamente diferentes de $E_2$. Entonces existe una única aplicación lineal $f:E_1\rightarrow E_2$tal que $f(v_j)=u_j \forall j=1,...,n$.
Schrodinger27, lo que sater te estaba explicando excelentemente bien es que si descubres para qué valores de a el trio de vectores v forman una base de R3 entonces para esos valores, en virtud del teorema, tendras una única aplicación lineal que cumpla con lo estipulado. En el caso de los valores de a para los que no forman una base, tienes un poquito más de trabajo.
Después te pide que encuentres la matriz de f para el caso a=b=0. Si a=0, los vectores v forman base. Una opción es calcular la matriz de f en la base de los v (salida) y la canónica a la llegada. Únicamente debes aplicar f a los vectores v, expresar-los como combinación lineal de la base canónica y poner los coeficientes en las columnas de la matriz (seguro que esto ya sabes cómo va). Para conseguir la matriz de f en las bases canónicas tanto de llegada como de salida, usa la matriz de cambio Canónica -> base de los v, que puedes construir immediatamente con la información que te da el enunciado. Pista: multiplica por 1/2. Finalmente multiplica por la derecha esta matriz de cambio a la que tenías de f. La resultante es la que deseabas.
Puede que no haya quedado muy claro, más si dices que el profesor no lo ha explicado suficientemente bien. Cualquier duda, sigue preguntando. Si es necesario, te lo haré con más detalle.
Saludos