1r ciclo Ayuda con determinante de matriz

[morphete]

[FONT=verdana]Buenas. Llevo bastante mal el tema de matrices. El caso es que necesito obtener el determinante de una matriz de orden N que contiene "a" en la diagonal principal y "1" en las otras casillas.[/FONT]

[FONT=verdana]Supongo que la forma es triangulando por Gauss, pero se complica bastante y no acabo de ver una forma sencilla de hacerlo.[/FONT]

[FONT=verdana]¿Alguna sugerencia?[/FONT]

[FONT=verdana]Muchas gracias. Saludos[/FONT]

[Umbopa]

Re: Ayuda con determinante de matriz

$\begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 & ... & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 & ... & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a & ... & 1 & 1 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & 1 & ... & ... & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & ... & 1 & a \end{pmatrix}$

restando las filas de forma consecutiva tenemos

$\begin{pmatrix} a-1 & 1-a & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & a-1 & 1-a & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 1-a & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & ... & a-1 & 1-a \\ 1 & 1 & 1 & 1 & ... & 1 & a \end{pmatrix}$

desarrollando por menores la última fila te das cuenta de que todos los menores tiene un valor igual a $(a-1)^{n-1}$ y que el signo depende de la fila que estas desarrollando de manera que

$det(A_{n}) = (a-1)^{n-1} (a + n - 1)$

[morphete]

Re: Ayuda con determinante de matriz

Muchas gracias por la ayuda! Saludos