2o ciclo Propiedades de conjuntos

[relojdepared]

Hola muy buenas, tengo el siguiente problema:

Tengo el espacio $N = M + M^\perp$

Y tengo que $M\subset N$ y $M^\perp \subset N$

Y lo que no entiendo es que afirma tambien que $N^\perp \subset M^\perp$ y que $N^\perp \subset M$

Y como no hemos visto propiedades de conjuntos, no se demostrarlo, he intentedo hacerlo en $\mathbb{R}^3$, suponiendo que N es un plano, pero me he liado con las dimensiones.

Gracias de antemano

[Samir M.]

Re: Propiedades de conjuntos

Tienes que darte cuenta que, tal como están las condiciones, $N^{\perp} = 0$, luego las afirmaciones que hace son triviales. Ver que $N^{\perp} = 0$ no es complicado; un elemento $x$ pertenecerá a $N^{\perp} \iff x \perp y, \forall \, y \in N$ pero $M \subset N <br />$ luego también debe ser perpendicular a cualquier elemento de $M$, y también $M^\perp \subset N$ luego $x$ también debe ser perpendicular a cualquier elemento de $M^{\perp}$, luego $x$ ha de ser perpendicular a sí mismo. El único elemento que cumple esto es el 0.

Saludos.