2o ciclo Diagonalizar esta matriz

[morphete]

Buenas, me gustaría saber si es posible de obtener una expresión exacta y analítica (o en forma de serie) de los valores propios de esta matriz simétrica de orden $n$:

$\begin{pmatrix} 0 & a_1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ a_1 & 0 & a_2 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & a_3 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & 0 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & a_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & a_{n-1} & 0 \end{pmatrix}$

En principio no necesito los vectores propios.

Muchas gracias y un saludo

[Umbopa]

Re: Diagonalizar esta matriz

Para una matriz tridiagonal, existe una relación de recurrencia para el determinante

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_tridiagonal

[morphete]

Re: Diagonalizar esta matriz

Muchas gracias por responder.

Me lo he mirado pero no me ha servido, ya que no es sólo calcular el determinante, es encontrar las raíces...

Voy a poner lo que tengo que hacer de forma más concreta y partiendo de que conozco las soluciones a ver si así se puede demostrar, aunque sea de forma inductiva:

Sea la matriz $n \times n$

$\begin{pmatrix} 0 & a_1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ a_1 & 0 & a_2 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & a_3 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & 0 & ... & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & a_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & a_{n-1} & 0 \end{pmatrix}$

Donde $a_i = \sqrt{\dfrac{i(n-i)(2k-i)(2k-n-i)}{4(k-i)^2-1}}$ y $k$ es un parámetro cualquiera, se trata de demostrar que los autovalores de esta matriz son, independientemente de $k$: $0, \pm 2 , \pm 4 , \dots , \pm (n-1)$ si $n$ es impar, o bien $\pm 1 , \pm 3 , \dots , \pm (n-1)$ si $n$ es par. Si no es posible demostrar tanto, también podría valerme demostrar que el mayor (o al menos dos) de los autovalores son $\pm (n-1)$.

Bueno, muchísimas gracias por la ayuda. Saludos cordiales