Secundaria Rango matriz

[The Higgs Particle]

Hola, tengo varios problemas:

1. No sé calcular determinantes de mayor orden que 3 $\times$ 3.
2. No sé calcular el rango de matrices de orden superior a 3. Por ejemplo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En este caso no veo que pueda eliminar ninguna fila ni columna...

Por otro lado, en este otro ejemplo, al ser la primera columna y la primera fila 1, ¿podemos eliminarla? (si no, tampoco sé cómo se hace esta)

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Visitante]

Re: Rango matriz

Te respondo a lo que puedo
1.- Para calcular el determinante de una matriz n*n es el resultado de sumar todos los posibles productos de n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna, con su signo cambiado según un criterio, ahora bien hacer esto para calcular el determinante de una matriz 4*4 tendrías que hacer 4! productos... hay otra forma más sencilla, haces ceros en una columna o fila y calcular los adjuntos de dicha columna o fila, luego se suman y se obtiene el determinante de la matriz inicial.

2.-Yo siempre lo primero que hago es calcular el determinante, luego si el determinante es igual a 0 trato de estudiar sus menores no nulos.
Aplicar el método de Gauss hay veces que no es útil.

[The Higgs Particle]

Re: Rango matriz

Sí, acabo de encontrar lo primero en Internet. Usar las matrices adjuntas y los menores complementarios para calcular el determinante de orden mayor que 3.

- - - Actualizado - - -

Los dos primeros problemas resueltos. A ver ahora que he pasado la fase de frustración y negación :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$|1| = 1 \neq 0 \to Rango(D) \geqslant 1$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \end{array}\right| = -11 \neq 0 \to Rango (D) \geqslant 3$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $+ {(-1)}^{3+3} \cdot 4 \cdot \left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & m \end{array}\right| + {(-1)}^{4+3} \cdot 4 \cdot \left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right| = -1 \cdot \left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & m \end{array}\right|$ $+ 4 \cdot \left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & m \end{array}\right| -4 \cdot \left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right|$ $= -1 \cdot (2m +2 -(16 -m)) + 4 \cdot (-m + 13 -m) -4 \cdot (-11) = 110 - 11m$. Por lo tanto, $|D| = 0 \Leftrightarrow m = 10$.

Podemos concluir:

• Si $m = 10 \to Rango (D) = 3$
• Si $m \neq 10 \to Rango (D) = 4$

[angel relativamente]

Re: Rango matriz

Yo para seguir un orden cómodo y rápido, que a la vez sea exhaustivo, le echaría un vistazo "a ojo" y miraría solo hasta buscar un determinante de orden 2 distinto de 0 (si es sencillo, si el determinante está lleno de 1s y 0s puede ser pesado porque hay muchos determinantes 2x2 que darán 0). Después un rápido vistazo a la proporcionalidad entre filas o columnas también te puede ahorrar mucho trabajo. Por ejemplo si dos filas son proporcionales directamente el determinante es de orden menor o igual que 3 y basta encontrar un determinante de orden 3 no nulo para acabar el problema. Por ejemplo, en la matriz que has puesto en tu primer mensaje

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Se ve muy claro sin hacer ningún cálculo que para m=3 las columnas 3ª y 4ª son proporcionales (de hecho son iguales), por tanto ya sabes que para m=3 el rango no puede ser 4 y eso lo hemos visto en un momento. Lo de eliminar una fila de 1s porque hay una columna de 1s o viceversa no puedes aplicarlo: no puedes comparar filas con columnas. Si piensas en matrices como un "vector de vectores" (que es lo que vienen a ser hablando en coloquial) sería comparar las componentes de tu primer vector (tu primera columna) con la primera componente del resto de vectores, lo cual no tiene mucho sentido. Piensa que el rango de una matriz te viene a dar la dependencia o independencia entre sus vectores (o ecuaciones en caso de que las uses para resolver sistemas).

Una vez le tengas el ojo echado y hayas eliminado los casos que se ven imposibles, te pones a calcular los determinantes que te hagan falta para hacer toda la casuística en caso de que tenga parámetros. Es normal que al principio seas más metódico y con el tiempo vayas afinando la vista, pero como sea una matriz 5x5 te deseo suerte calculando muchos determinantes 4x4

Saludos,