Secundaria Sistemas I

[The Higgs Particle]

Hola; ¿es esto correcto?

a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de $a$
b) Resuélvelo para $a = 1$

El sistema es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pongo la matriz $A$ y la ampliada, ${A}^{*}$:

$A = \left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ a & 0 & -3 \\ 2 & a & -1\end{array}\right)$ ; ${A}^{*} = \left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 2 & 0 \\ a & 0 & -3 & a\\ 2 & a & -1 & a\end{array}\right)$

En la matriz $A$ se ve a ojo que $Rang (A) \geqslant 2$. Vamos a estudiar a continuación si tiene rango tres:

$|A| = \left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ a & 0 & -3 \\ 2 & a & -1\end{array}\right| = 2 {a}^{2} -6 - (-3a -a) = 2{a}^{2}+ 4a - 6 = 2 \cdot (a + 3)(a - 1)$; $|A| = 0 \Leftrightarrow a = 1$ ó $a = -3$

a.1) Caso I: si $a = 1$ ó $a = -3 \to Rang (A) = 2$
b.1) Caso II: si$a \neq 1$ y $a \neq -3 \to Rang (A) = 3$

Vamos a analizar ahora a la matriz ${A}^{*}$. En principio, $Rang({A}^{* }) \geqslant 2$, como ocurría con $A$.

$\left|\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & a\\ a & -1 & a\end{array}\right| = -3a +2 {a}^{2} - (-a ) = 2{a}^{2} -2a = 2a \cdot (a - 1)$; $|{A}^{*}| = 0 \Leftrightarrow a = 0$ ó $a = 1$

a.2) Caso I: Si $a = 0$ ó $a = 1 \to Rang ({A}^{*} = 2$
b.2) Caso II: Si $a \neq 0$ y $a \neq 1 \to Rang({A}^{*}) = 3$

En conclusión:

a) Caso I: Si $a \neq 0; 1; -3 \to Rang(A) = Rang ({A}^{*}) = n \to$ $\boxed{SCD}$.

b) Caso II: Si $a = 1 \to Rang (A) = Rang({A}^{*}) < n \to$ $\boxed{SCI}$

c) Caso III: Si $a = 1$ ó $a = 3 \to Rang(A) \neq Rang({A}^{*}) \to$ $\boxed{SI}$


El apartado b) se puede resolver mediante igualación, reducción, sustitución, Gauss y el método de matrices de, por ejemplo, $x = \frac{\left|\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 2 \\ a & 0 & -3 \\ a & a & -1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ a & 0 & -3 \\ 2 & a & -1\end{array}\right|}$ (y sustituyendo $a =1$), ¿no?

[gdonoso94]

Re: Sistemas I

Hola THP:

Te sobra lo de examinar la matriz ampliada. Lo que yo suelo hacer es ver qué valores hacen que el rango de la matriz A sea 2. Tras ello discuto el sistema que queda en función de esos valores (ahora sí, viendo el rango de la ampliada pero con el valor en cuestión sustituido). Creo que tu método da lugar a equívocos, fíjate que si llegas a tener al menos una a en todas las columnas... ¿Qué columnas cogerías para hacer el determinante de la matriz ampliada?

Saludos!

[The Higgs Particle]

Re: Sistemas I

A mí me habían enseñado así diciendo que, al mirar el rango de la ampliada, se cogen las columnas que incluyan a la parte ampliada. Es decir, en este caso quito la primera columna (la de $x$) y meto la de la $y$, la $z$ y la ampliada. Pero claro, como tú dices, ¿por qué no puedo quitar la de la $y$ o la de la $z$? Tendría que hacer muchos determinantes sólo para averiguar los valores para los que la segunda tiene rango 2, y además luego tengo que juntar estos valores con los de la primera, haciendo intersecciones y todo eso; es más fácil como tú dices. Gracias