Secundaria Determinantes

[The Higgs Particle]

Solución:
a) Según las propiedades de los determinantes, tenemos que $|A| = \frac{1}{|A| }$ (I); $|{A}^{t}| = |A|$ (II) y $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$ (III). Entonces, en este caso,

$|-A| = - |A| = -2$;
$|{A}^{-1}| = \frac{1}{2}$ (utilizando (I));
$|{A}^{t}| = 2$ (utilizando (II))
$|{A}^{3}| = |A \cdot A \cdot A| = |A| \cdot |A| \cdot |A| = {|A|}^{3} = {2}^{3} = 8$ (utilizando (III)).


b) $|{A}_{1}| = \left|\begin{array}{rrr} 3-a & -b & 1-c \\ 1+a & 1+b & 1+c \\ 3a & 3b & 3c \end{array}\right| = -3 \left|\begin{array}{rrr} a & b & c \\ 1+a & 1+b & 1+c \\ 3 - a & -b & 1-c \end{array}\right| \to {F}_{2}' = {F}_{2} - {F}_{1}$; ${F}_{3}' ={F}_{3} + {F}_{1} \to -3 \left|\begin{array}{rrr} a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right|$. Por lo tanto, $|{A}_{1}| = -3 \left|\begin{array}{rrr} 3-a & -b & 1-c \\ 1+a & 1+b & 1+c \\ 3a & 3b & 3c \end{array}\right| = -6$

$|{A}_{2}| = \left|\begin{array}{rrrr} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2a & 2b & 2c \\ 0 & 30 & 0 & 10 \\ 1 & 4 & 4 & 4 \end{array}\right|$ $= 5 \cdot \left|\begin{array}{rrr} 2a & 2b & 2c \\ 30 & 0 & 10 \\ 4 & 4 & 4 \end{array}\right| = 5 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 10 \left|\begin{array}{rrr} a & b & c \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = - 400 \cdot \left|\begin{array}{rrr} a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right| = - 800$

[arivasm]

Re: Determinantes

En el a) cambia el 2 de los resultados por un 5, pues dicen que |A| = 5.

Con respecto a $|-A|$ ten en cuenta que cuando multiplicas por un número una fila o una columna el determinante se multiplica por dicho número. En consecuencia, para construir -A debes multiplicar por -1 todas las filas. Por tanto, no siempre será cierto que $|-A|=-|A|$, sólo será así si el orden es impar. En realidad si el orden es n se cumple que $|-A|=(-1)^n|A|$. Así pues, tienes mal ese detalle, que puedes comprobar inmediatamente por ti misma al aplicarlo a una matriz cualquiera de orden 2.

Todo lo demás lo encuentro correcto.

Es