Otras carreras Ángulo entre puntos de una circunferencia

[Xay]

Buenas tardes,

Les pido ayuda con un problema que soy incapaz de resolver, he intentado plantear sistemas de ecuaciones, hacerlo por ángulos y mil cosas más, pero se me agota la imaginación. Dejo una imagen para que sea más sencillo de entender, pero lo explico igualmente:

Tengo dos puntos de una circunferencia. Necesito calcular el ángulo entre los radios que van hasta esos puntos (ángulo beta), pero no conozco el valor del radio, solo el ángulo entre el eje vertical y el radio a A y la distancia entre este mismo radio y una paralela que llega a B.

Voy a intentar plantearlo como dos rectas que cortan a la misma circunferencia y ver si así sale algo, pero agradecería cualquier sugerencia o consejo.

http://s24.postimg.org/xj2phgst1/IMG...315_172030.jpg

[pilimafiqui]

Re: Ángulo entre puntos de una circunferencia

El dibujo lo hiciste tú o te lo dan?

[Xay]

Re: Ángulo entre puntos de una circunferencia

El dibujo lo hice yo y tiene un fallo: el ángulo entre el radio a A y la vertical es phi, el ángulo entre el radio a B y la vertical es desconocido. En resumen, ese ángulo phi es el que hay entre las paralelas y la vertical, me faltó extender la línea un poco más en el dibujo.

[Alephero]

Re: Ángulo entre puntos de una circunferencia

Vale, yo lo he resuelto por el Teorema del Seno

Llamemos O al centro de la circunferencia y O' al punto donde se corta la paralela al radio A con la vertical.

Como los segmentos OA y O'B son paralelos y están cortados por un tercer segmento OB, los angulos opuestos son iguales, eso quiere decir que el angulo subtendido po AOB (es decir, beta) es igual al angulo subtendido por OBO'.

Por otra parte, fijate que en el triangulo OBO', el angulo O'OB es igual a $\varphi - \beta$, y que el segmento OB es igual al radio r de la circunferencia; por tanto, por el teorema del Seno...

[Xay]

Re: Ángulo entre puntos de una circunferencia

Muchas gracias Alephero. Ya había intentado usar el teorema del seno y del coseno, e incluso los combiné, pero creo que no es tan sencillo. Has tenido en cuenta que el radio de la circunferencia es desconocido?

[pilimafiqui]

Re: Ángulo entre puntos de una circunferencia

En el triangulo O'OB ,el ánguloO=fi-beta, el ànguloB=beta, el ánguloO'= 180-(fi-beta)-beta= 180-fi.
Y con el teorema de los senos,como te dijo Alephero, te sale.
Si pones los datos que te dan procuro ayudarte

[Xay]

Re: Ángulo entre puntos de una circunferencia

Gracias pilimafiqui.

No tengo ningún valor numérico, se supone que tengo que calcular beta en función del lado que conozco, $\Delta z$. He repetido el dibujo, exagerando algo más la separación entre los puntos A y B y marcando bien los ángulos. También he aplicado el teorema del seno al triángulo OBO', pero sigo sin saber cómo obtener el ángulo $\beta$.

http://s4.postimg.org/jf3xf31h9/IMAG4077.jpg

Sé que $\varphi ' = 180 - (180-\varphi) - \beta$, pero aún así tengo demasiadas incógnitas. He probado a despejar r y r' del teorema del seno y sustituirlos en las ecuaciones del teorema del coseno pero termino obteniendo 1=1 o cosas similares. El triángulo OBO' creo que no se puede resolver, sólo conocemos de él un lado y un ángulo, por eso intenté hacerlo de otras maneras.

La última que probé fue calcular las ecuaciones de las rectas r, s y t, que pasan por O y A, O y B y O' y B respectivamente. Considerando que A y B son puntos de una circunferencia, A=(rsen$\varphi$, r cos$\varphi$) y B=(rsen$\varphi '$, rcos$\varphi '$). Sé que las rectas r y t son paralelas y que s y t se cortan en B, pero aún así no he conseguido nada...

[Breogan]

Re: Ángulo entre puntos de una circunferencia

Hola:

No hice el problema, así que no estoy seguro que las soluciones que te han dado anteriormente no funcionen; pero el trabajo del desarrollo matemático es tuyo, y a menos de que lo postees para ver si hay algún error (o sea muy evidente), debo confiar en lo que hiciste y en tus conclusiones.

Dejando atrás la breve introducción, te propongo otra forma de encararlo, aclarando desde ya que no resolví el problema por lo cual no puedo garantizar que lleve a la solución esperada.

En tu dibujo dibuja una linea paralela al eje "y", y que pase por el punto B, donde esta recta corta al radio OA queda definido un punto que llamaremos A'.
De esta forma tenemos tres triangulos.
El triangulo OBA' del cual conocemos dos datos ($BA' = \Delta z \quad y \quad \angle{OA'B}=\pi-\varphi$) y tenemos cuatro incógnitas ($R,OA',\beta,\angle OBA'$), y el triangulo A'BA del cual conocemos dos datos y tenemos cuatro incógnitas (que no voy a enumerar).

Del tercer triangulo, el OBA, sabemos que siempre va a ser isósceles por lo cual $\angle OBA = \angle OAB$, después también sabemos que $OA' + A'A = R$, y por ultimo el segmento BA tiene una longitud dada por la formula de la cuerda subtendida por el angulo $\beta$ : $BA = 2 R sen (\beta/2)$ (verifica esta ultima formula, la puse de memoria).

Creo que con esto ya se resuelve el problema. Empeza a plantearlo y si en algún punto te atoras volve a preguntar.

s.e.u.o.

Suerte

PD: disculpa la desprolija notación de los segmentos, ángulos, y triángulos pero no me acuerdo como poner los símbolos en LaTex. Espero que en cada caso se entienda a que me estoy refiriendo.

Suerte

[Xay]

Re: Ángulo entre puntos de una circunferencia

Gracias Breogan,

estoy planteando el problema con la idea que me has dicho. Sin embargo, sigo teniendo dos triángulos con cuatro incógnitas en cada uno, y no es posible resolver triángulos con sólo dos datos, ¿cómo sugieres que lo aborde? He aplicado el teorema del coseno y del seno a los triángulos OA'B y A'AB por separado, pero sigo sin tenerlo muy claro... hay demasiadas incógnitas.

http://s3.postimg.org/77axhtjoj/IMAG4083.jpg

[Breogan]

Re: Ángulo entre puntos de una circunferencia

Hola:

Por lo que pude ver de tu adjunto del ultimo mensaje, me parece conveniente aclarar un poco el tema de resolución de triángulos. Lo siguiente lo escribo de memoria, y aunque hace mucho que lo estudie creo que es correcto.
Un triangulo esta constituido por seis elemento: tres ángulos $\alpha , \beta , \gamma$ y tres lados a , b , c respectivamente opuestos a los angulos citados.
Las ecuaciones que se cumplen en un triangulo son:

Suma de los angulos interiores	$\alpha + \beta + \gamma = \pi$
Teorema del seno	$\dst \frac {sen \alpha}{a} = \frac {sen \beta}{b} = \frac {sen \gamma}{c}$
Teorema del coseno	$\dst \begin{aligned} a^2 & = b^2 + c^2 - 2 \ b \ c \ cos \alpha \\ b^2 & = a^2 + c^2 - 2 \ a \ c \ cos \beta \\ c^2 & = a^2 + b^2 - 2 \ a \ b \ cos \gamma \end{aligned}$

De estas ecuaciones solo son independientes tomadas de a tres, de ahí que se necesiten tres elementos que sean conocidos para de esa forma poder despejar las tres incógnitas. La selección de las ecuaciones a usar depende de cuales sean los datos conocidos, sinceramente no me acuerdo si hay alguna regla que facilite esta selección.
Este comentario se debe a que en tu adjunto pones todas las ecuaciones dadas por el teorema del seno y del coseno, en total seis por lo cual visto en forma inmediata sobran tres, pero ademas en ningún lado veo que utilices la suma de los ángulos internos (que a priori creo que sería útil).

Volviendo al problema, para el 1º triangulo tenes dos datos ($\Delta z \ y \ \pi - \varphi$), y cuatro incógnitas ($r \ , \ r' \ , \ \beta \ y \ \varphi'$), y te queda un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas. Para el 2º triangulo tenes dos datos ($\varphi \ y \ \Delta z$) y cuatro incógnitas ($d \ , \ r'' \ , \ \theta \ y \ \theta'$) y también tres ecuaciones. Agregue unos nombres de elementos que no están en tu dibujo, pero ya se va a aclarar el porque.

Si juntas todas las ecuaciones, ya que todas se tienen que cumplir por ser representativas de la misma situación geométrica, resulta en:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Este sistema no es resoluble por que faltan ecuaciones, ahora tenes que buscar las ecuaciones implícitas en la configuración geométrica, p.e.:

$\dst r = r' + r'' \quad y \quad \theta' = \theta - \varphi'$

con estas dos mas ya se podría resolver el sistema de ecuaciones que nos queda, ya que si no me equivoque te quedan 8 ecuaciones independientes con ocho incógnitas.
En ves de tomar una de las que te indique podrías tomar la otra y la de la cuerda que indique en un mensaje anterior, p.e:

$\dst d = 2 r sen (\beta/2) \quad y \quad r = r' + r''$

Lo importante es llegar a un sistema, entre los dos triángulos y condiciones geométricas, que tenga tantas ecuaciones independientes como incógnitas. Igualmente las ecuaciones que no uses en la solución, al final se deberán cumplir también porque solo sobran porque son dependientes de las anteriores aunque a simple vista sea difícil de ver.

s.e.u.o.

Suerte