1r ciclo Problema de tensores.

[Rowland]

Buenas, necesitaría ayuda para poder resolver el siguiente problema:

En el espacio vectorial [TEX]T^2(P1(R))[/TEX]  calcula la base asociada con la siguiente base de [TEX]P1(R)[/TEX]

[TEX]B=[/TEX]{[TEX]1-2t, 3+7t[/TEX]}

en dicha base calcula las coordenadas de los siguientes tensores 

[TEX]T1(P(t),Q(t))=P(1)Q(-1)[/TEX]

[TEX]T2(P(t),Q(t))=\int_{0}^1 P(t)Q(t)[/TEX]

¿El producto tensorial de dos formas lineales nos permite expresar los tensores anteriores?

Gracias de antemano, estoy comenzando con este tema y aún tengo serias dudas.

[frunciopilato]

Re: Problema de tensores.

Bueno, me lanzo. Lo primero que yo haría sería calcular la base dual de $B$, una vez que esté calculada podrías obtener la base asociada al tensor

$\text{B}^{\text{0}}_{\text{2}}= \{\phi ^{\text{j}} \otimes \phi ^{\text{k}},\ 1\leqslant\ j \leqslant k \leqslant n \} \ \ \forall j, k \in N$

Aplicando que $T(\vec{x}, \vec{y})=a^j b^k T(\vec{v}_j, \vec{v}_k)$ calculas los tensores que te han dado y después solo tendrías que ponerlos como combinación de los vectores que conforman $\text{B}^{\text{0}}_{\text{2}}$

En este punto ya sabrás la respuesta a tu última pregunta. Normalmente un producto tensorial entre dos tensores covariantes de orden uno aplicado a dos formas lineales te "devuelve" una forma lineal en la primera y en la segunda variables, es decir, bilineal. En resumidas cuentas, si tienes $\phi ,\varphi \in V^*$ entonces $T=\phi \otimes \varphi\in T_2 (V)$; pero al revés no, o sea, que si tienes la forma lineal digamos que, en general, no tiene por que haber dos formas lineales que al aplicarles el producto tensorial te den la forma bilineal sobre el tensor, por ejemplo te pongo al de siempre, el tensor métrico $m=\phi ^{\text{1}} \otimes \phi ^{\text{1}}+\phi ^{\text{2}} \otimes \phi ^{\text{2}}$ para éste no puedes encontrar dos formas lineales $\phi ,\varphi \in V^*$ tal que $T=\phi \otimes \varphi\in T_2 (V)$ (para este último apartado estamos suponiendo trabajar en la canónica). Puedes demostrar que para poder expresar al tensor como producto tensorial de dos formas lineales la matriz que representa al tensor debe tener determinante 0.