Secundaria Posición relativa de tres planos

[The Higgs Particle]

Halla la posición relativa de los planos en los siguientes apartados:

a) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$A = \left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ 5 & 0 & 0 \end{array}\right) \to F_3 = F_2 + 2F_1 \to A = \left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \end{array}\right)$; $A^* = \left(\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -2 & 1\end{array}\right)$

$Rang(A) = Rang(A^*) = 2 < n ; (SCI) \to$ Como los coeficientes de las variables no son proporcionados, podemos concluir que los tres planos son diferentes y se cortan en una recta.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


b) $\pi_1 \equiv x - 2y +z = 3$ $\pi_2 \equiv 2x + y = 4$ $\pi_3 \equiv 5y -2z = -2$

$A = \left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & -2 \end{array}\right) \to F_3 = F_2 -2F_1 \to A = \left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right)$. Este es el mismo caso que el anterior: los tres planos son diferentes y se cortan en una recta, que se calcula de la misma forma que en el apartado anterior.

Sé que es muy pesado mirar esto, y os lo agradezco con total sinceridad. Sólo necesito saber si los procedimientos están bien, pues el resultado me es más bien indiferente. Muchas gracias!

[Breogan]

Re: Posición relativa de tres planos

Hola:

Te doy mi opinión sobre el problema a, no se si lo que diga puede ser de utilidad para vos.
Copio el SE:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De este sistema podemos sacar inmediatamente los vectores normales a cada plano:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De esto se ve que n1 y n2 no son proporcionales entre si, por lo cual los planos no son paralelos y su intersección es una recta. Por otra parte n3 es combinación lineal de n1 y n2 por lo cual pertenece al plano definido por ellos, y como n1 y n2 son perpendiculares a la recta intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$ resulta que $\pi_3$ es paralelo a dicha recta.

Analizando la matriz del SE original:

$\dst A = \left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ 5 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Si $\dst |A| \neq 0 \quad \Rightarrow \quad interseccion = un \ punto$

Si $\dst |A| = 0 \quad \Rightarrow \quad interseccion = tres \ rectas$ que pueden ser coincidentes

En este caso $\dst |A| = 0$ por lo cual la intersección de los planos son tres rectas (ojo que pueden ser coincidentes y resultarían en la practica ser una sola). Para analizar esto se ve el rango de la matriz A y de la matriz ampliada A*:

$\dst A^* = \left(\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -2 & 1 \\ 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

de donde se ve que $\dst Rango \ (A) = 2 = Rango \ (A^*)$

Por lo cual la intersección de los tres planos se trata de una recta, tal y como vos habías adelantado.
Confieso que cuando lo hice la 1º vez me dio otro resultado y cuando lo revise me di cuenta de mi error y por eso corregí el presente.

Aclaro: que para la matriz A y la matriz ampliada A* del SEs se parte siempre de que tienen tres filas, independientes o no.
Fijate que si cambias un termino independiente en una ecuación no te cambia el rango de A pero si el de A*, cosa que no sucede en la A* como vos la escribiste (posiblemente por economía, pero no esta de mas aclararlo).

s.e.u.o.

Suerte

[pilimafiqui]

Re: Posición relativa de tres planos

Como lo hiciste está bien (The Higgs) pero recuerda que tienes que aclarar bien la diferencia entre matriz normal y matriz ampliada como hiciste en el primer apartado