1r ciclo Definir una aplicación lineal a partir de su núcleo e imagen

[arivasm]

Estoy tratando de ayudar a mi hijo en la preparación de un examen de Álgebra. Tenemos dificultades con el siguiente problema, por lo que agradeceré(mos) mucho vuestra ayuda.

Un ejemplo de enunciado es éste:

Dados los subespacios de $\mathbb{R}^4$, $U=\left< (1,0,1,1), (2,1,-1,0), (0,-1,3,2) \right>$ y $W = \lbrace (x,y,z,t) \in\mathbb{R}^4/ x+t=0,\ 2x+y+z+t=0 \rbrace$, definir una aplicación lineal $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ tal que $ker f = U$ e $Im f=W$

En primer lugar, tenemos claro que una base de U estará formada por dos vectores cualesquiera de los que aparecen en el enunciado, pues el tercero será combinación lineal de ellos. Así, por ejemplo, se podría haber dicho que $U=\left< (1,0,1,1), (2,1,-1,0) \right>$.

También tenemos claro que, por ejemplo, $W=\left< (1,-1,0,-1), (0,1,-1,0) \right>$

A partir de aquí "navegamos" cuales patos mareados...

[angel relativamente]

Re: Definir una aplicación lineal a partir de su núcleo e imagen

Tengo algo oxidado el tema por lo que no estoy seguro de que lo que proponga sea la manera más cómoda, ni tan siquiera si no vais a acabar más mareados intentándolo. Lo que queremos sacar es una matriz de la aplicación lineal (con una matriz ya está la aplicación definida, pero si queréis o lo pidiese siempre se pueden sacar las ecuaciones). De esta matriz (4x4) conocéis dos vectores: Los dos vectores que generan la imagen, que son los únicos dos linealmente independientes (esto es obvio porque lo que hace la matriz de una app lineal es transformar vectores, y estos vectores transformados quedarán como combinación lineal de los vectores independientes de la matriz). Ahora os falta determinar otros dos vectores de la matriz. Para ello podéis ver qué vectores (x,y,z,t) manda esa matriz indeterminada al (0,0,0,0), e imponer que esos vectores estén generados por los que os da el enunciado (los del núcleo). No me he puesto a hacerlo porque no tengo tiempo y parece engorroso, pero en ningún sitio dice que f sea única y quizá sea fácil encontrar una concreta con esas condiciones.

Saludos y espero haber aclarado algo

[arivasm]

Re: Definir una aplicación lineal a partir de su núcleo e imagen

Creo que he dado con una manera de encontrar una solución, pero mi hijo dice que es demasiado complicada...

En primer lugar tenemos que $\mathbb{R}^4=\left< (1,0,1,1), (2,1,-1,0), (1,-1,0,-1), (0,1,-1,0) \right>$. Si llamamos $B$ a esa base y denoto por $e_1$, $e_2$, etc a sus vectores, las aplicaciones lineales buscadas cumplirán que $f(e_1)=f(e_2)=0$ y que $f(e_3)$ y $f(e_4)$ se podrán expresar como combinación lineal de los vectores $e_3$ y $e_4$.

Por tanto, una de las infinitas soluciones del problema es, por ejemplo, aquella aplicación lineal tal que $f(e_3)=e_3$ y $f(e_4)=e_4$.

Una vez hecha esa elección, la matriz de la aplicación, en la base canónica, sería $A_{CC}=I_{BC}A_{BB}I_{BC}^{-1}$, donde

$I_{BC}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$A_{BB}=\begin{pmatrix} 0 & & & \\ & 0 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{pmatrix}$

Con esta elección en concreto finalmente encuentro, después un cálculo tedioso debido a la inversa de $I_{BC}^{-1}$, que $\dst f(x,y,z,t)=-\frac{1}{2}(y+z-t,z-2y-t,-x+y-z+2t,y+z-t)$, donde, por supuesto, el factor $-\frac{1}{2}$ es reemplazable por cualquier otro.

Si se tratase de encontrar la solución general lo que cambiaría sería que

$A_{BB}=\begin{pmatrix} 0 & & & \\ & 0 & & \\ & & \alpha & \beta \\ & & \gamma & \delta \end{pmatrix}$

donde $\alpha$, etc son números reales.

Como os decía mi hijo recuerda haberle preguntado en su momento a su profesora por este problema y me dice que aunque no recuerda su respuesta lo que sí tiene claro es que el método no era tan pesado...

PD: Aclaro que no es una respuesta a Ángel, pues la escribí mientras él amablemente me contestaba

- - - Actualizado - - -

Muchísimas gracias, Ángel.

Veamos si lo he entendido: como dices, una matriz que satisfará la condición del enunciado estará formada por combinaciones lineales de los dos vectores generadores de la imagen. Por tanto, lo más sencillo es plantear, directamente, que, por ejemplo, las dos primeras columnas son dichos vectores, y que las otras dos son dos combinaciones de los mismos:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & a & c \\ -1 & 1 & -a+b & -c+d \\ 0 & -1 & -b & -d \\ 1 & 0 & a & c \end{pmatrix}$

A continuación aplicamos que al operar esta matriz sobre los dos vectores generadores del núcleo el resultado debe ser nulo. Así tenemos que

$1+a+c=0$
$b+d=0$
$2-a=0$
$-1+b=0$

con lo que la solución correspondiente es

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -3 \\ -1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}$

es decir, $f(x,y,z,t)=(x+2z-3t,-x+y-z+2t,-y-z+t,x+2z-3t)$

PD: Dice mi hijo que le suena que era así... Insisto: gracias, Ángel.

[frunciopilato]

Re: Definir una aplicación lineal a partir de su núcleo e imagen

Dados los subespacios de $\mathbb{R}^4, U=\left< (1,0,1,1), (2,1,-1,0), (0,-1,3,2) \right>$ y $\ W = \lbrace (x,y,z,t) \in\mathbb{R}^4/ x+t=0,\ 2x+y+z+t=0 \rbrace$, definir una aplicación lineal $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ tal que $ker f = U e Im f=W$

$U=\left< (1,0,1,1), (2,1,-1,0) \right>$.

$W=\left< (1,-1,0,-1), (0,1,-1,0) \right>$

Por añadir otra forma, básicamente el "truco" está en aplicar una propiedad de las aplicaciones lineales, si yo tengo que $(x,y,z,t)=\alpha\vec{v_1}+\beta\vec{v_2}+\gamma\vec{v_3}+\xi\vec{v_4}$ entonces $f(x,y,z, t)=f(\alpha\vec{v_1}+\beta\vec{v_2}+\gamma\vec{v_3}+\xi\vec{v_4})=\alpha f(\vec{v_1})+\beta f(\vec{v_2})+\gamma f(\vec{v_3})+\xi f(\vec{v_4})$

En resumidas cuentas, el subespacio $U=\left< (1,0,1,1), (2,1,-1,0) \right>$ estará contenido en tu subespacio de salida, luego tu subespacio de salida podría ser por ejemplo $U'=L(\{ \vec{v_1}=(1,0,1,1), \vec{v_2}=(2,1,-1,0),\vec{ v_3}=(1,0,0,0), \vec{v_4}=(0,1,0,0)\})$, dos de los vectores que generan al subespacio de salida estarán en el núcleo de tu aplicación lineal, esos son los dos primeros vectores que conforman a $U'$. Esto significa básicamente que $f(1,0,1,1)=f(2,1,-1,0)=(0,0,0,0)$, los otros los mandas al subespacio de llegada como f(1,0,0,0)=(1,-1,0,-1); y f(0,1,0,0)=(0,1,-1,0). Una vez hecho esto te pones manos a la obra a construir la aplicación lineal. Si tienes un vector en el espacio de salida, entonces el mismo podrá escribirse como $(x,y,z,t)=\alpha\vec{v_1}+\beta\vec{v_2}+\gamma\vec{v_3}+\xi\vec{v_4})$, hallas las incógnitas $\alpha, \beta, \gamma, \xi$; y después simplemente aplicas que $f(x,y,z, t)=f(\alpha\vec{v_1}+\beta\vec{v_2}+\gamma\vec{v_3}+\xi\vec{v_4})=\alpha f(\vec{v_1})+\beta f(\vec{v_2})+\gamma f(\vec{v_3})+\xi f(\vec{v_4})$ las dos primera imágenes son nulas así que se te pierden y finalmente la aplicación te quedaría, en este caso, $f(x,y,z, t)=(\gamma,\xi-\gamma,- \xi,-\gamma)$

Un saludo.