Divulgación Dudas sobre derivada covariante

[alexpglez]

Tenía varias dudas sobre la derivada covariante, ¿qué simboliza?, quiero decir, matemáticamente y físicamente entiendo definiciones de la divergencia y el gradiente, pero una derivada aplicada a un tensor que crea un nuevo tensor de un orden mayor... Por sus aplicaciones, he visto que así logra definir claramente divergencia y gradiente (siendo estos casos particulares de la derivada anterior), y la derivada absoluta (he leído en un texto que se llamaba así, aunque no lo he visto ese nombre en más sitios), que según creo que equivale a "derivar", quiero decir, $\vec r=r_i \hat e^i$; $\frac{d \vec r}{dt}=\frac{d r_i}{dt}\hat e^i+r_i \frac{d \hat e^i}{dt}$, sólo que utilizádo el tensor métrico y no sus vectores de la base (lo cual en mi opinión aunque a veces queda algo más laborioso en cálculo, es mucho más ordenada la fórmula para tensores).
He estado aprendiendo la teoría de la derivada covariante, partiendo del punto de que, realizando una derivada parcial:

$$T'^{i}=\frac{\partial x'^i}{\partial x^j} T^j$$

$$\frac{\partial T'^{i}}{\partial x'^k}=\frac{\partial^2 x'^i}{\partial x'^k \partial x^j} T^j+\frac{\partial x'^i}{\partial x^j} \frac{T^j}{\partial x'^k}=\frac{\partial x'^i}{\partial x^j} \frac{\partial x^{\Omega}}{\partial x'^k}\frac{T^j}{\partial x'^{\Omega}}+\frac{\partial^2 x'^i}{\partial x'^k \partial x^j} T^j$$

No se transforma como un tensor, y a partir de ahí el texto que andaba leyendo trataba de mostrar como añadiendo a la derivada parcial los símbolos de Christofel si que conseguía transormarse como un tensor.
Sin embargo, cómo se demostraría partiendo de que al derivar "parcialmente" hay que tener en cuenta los vectores de base¿?. Es decir encontré:

$$\vec g=g_i \hat e^i$$

$$\frac{\partial \vec g}{\partial x^j}=\frac{\partial g^i}{\partial x^j} \hat e_i + g^i \frac{\partial \hat e_i}{\partial x^j}$$

$$\frac{\partial \hat e_i}{\partial x^j}=\lambda^m _{i j} \hat e_{m}$$

$$\frac{\partial \vec g}{\partial x^j}=\frac{\partial g^i}{\partial x^j} \hat e_i + g^i \lambda^m _{i j} \hat e_{m}$$

Ahora, (creo que este paso lo entiendo, al ser m y i índices "monigote" o sea que se contraen y suman, se les puede cambiar de nombre), cambiamos m por i y i por m, entonces:

$$\frac{\partial \vec g}{\partial x^j}=(\frac{\partial g^i}{\partial x^j} + \lambda^i _{m j} g^m) \hat e_{i}$$

Y por tanto:

$$\frac{\partial g^i}{\partial x^j}=\frac{\partial g^i}{\partial x^j} + \lambda^i _{m j} g^m$$

Lo que busco es por qué:

$$\frac{\partial \hat e_i}{\partial x^j}=\lambda^m _{i j} \hat e_{m}$$

Y dado el cambio de signo para tensores contravariantes, la siguiente relación, sería correcta¿?:

$$\frac{\partial \hat e^i}{\partial x^j}=-\lambda^m _{i j} \hat e^{m}$$

Siendo lambda los símbolos de christofel.. Por cierto, con qué símbolo se escriben en Latex¿?

Un saludo, gracias!

[Richard R Richard]

Re: Dudas sobre derivada covariante

Lo que busco es por qué:

$$\frac{\partial \hat e_i}{\partial x^j}=\lambda^m _{i j} \hat e_{m}$$

Estoy leyendo un libro sobre tensores, y la razon de la aparicion de los simbolos christofels se debe a que la derivada de los vectores y tensores no transforma como el producto de una matriz de transformacion por la derivada del vector, sino que por regla de la cadena tambien debes agregar el contenido de la derivada de los vectores de base( pues varian de punto a punto). Esta derivada es lineal con el vector y el factor de proporcionalidad por asi decirlo es el Christofell.

$\partial \vec V=(\partial_{\mu}V^{\nu})e_{\nu} + V^{\nu}(\partial_{\mu}e_{\nu})=(\partial_{\mu}V^{\rho}+V^{\nu} \Gamma^{\rho}_{\mu \nu})e_{\rho}$

Y dado el cambio de signo para tensores contravariantes, la siguiente relación, sería correcta¿?:

$$\frac{\partial \hat e^i}{\partial x^j}=-\lambda^m _{i j} \hat e^{m}$$

Si haces la derivada covariante de un campo escalar por ejemplo uno que se obtenga del Producto escalar de dos vectores uno covariante por uno contravariante, veras que su derivada transforma sin el agregado de los crhistofels, quier decir que la transformacion de uno se compensa con la del otro , pero no estoy seguro que sea esa la expresión .

La derivada covariante de un vector contravariante es

$\dst \nabla_{\nu}V^{\mu}=\partial_{\nu}V^{\mu}+ \Gamma^{\mu}_{\nu \rho}V^{\rho}$

y la derivada covariante de un vector covariante es

$\dst \nabla_{\nu}V_{\mu}=\partial_{\nu}V_{\mu}- \Gamma^{\rho}_{\nu \mu}V_{\rho}$

la transformacion del campo escalar es

$\partial_{\alpha}\phi=\dfrac{\partial \phi}{\partial y^{\alpha}}=\dfrac{\partial \phi}{\partial x^{\mu}}\cdot \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial y^{\alpha}}= M_{\alpha}^{\mu}\cdot \dfrac{\partial \phi}{\partial x^{\mu}}=M_{\alpha}^{\mu}\partial_{\mu}\phi$

y alli no hay cristoffell imagino que en algun momento por la aplicación de

$\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}-\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}=0$

o cosas como $\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}=-\Gamma_{\mu \nu}^{\beta}\delta^{\alpha}_{\beta}$

deben anularse mutuamente y desaparecer de la ecuación.

Siendo lambda los símbolos de christofel.. Por cierto, con qué símbolo se escriben en Latex¿?

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