Otras carreras Obtencion del tensor de Riemann y de Torsión

[Richard R Richard]

he estado leyendo libros de Algebra tensorial y todos usan la relacion de que el conmutador de la derivada covariante es igual al tensor de riemman por el vector - el tensor de torsion por la derivada del vector.
$[\nabla_i ,\nabla_j] V^{k}=R_{ijl}^{k}V^k-T_{ij}^l \nabla_l V^k$

Lo que busco es la deduccion, como partiendo de uno se llega a lo otro, siempre los libros la dejan como ejercicio, yo la saco pero no, pero no me queda bien, y no se donde me equivoco.
Algun libro o Link ? gracias

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He podido llegar a deducirla, no sin mucho esfuerzo, debido caer que se usaron un par de trucos de esos que hacen facilmente los mas avispados matemáticos en un santiamen.

$$[\nabla_i ,\nabla_j] V^{k}=\nabla_i \nabla_j V^{k}-\nabla_j \nabla_i V^{k}$$

sabiendo que la derivada covariante de un vector contravariante es

$$\dst \nabla_{\nu}V^{\mu}=\partial_{\nu}V^{\mu}+ \Gamma^{\mu}_{\nu \rho}V^{\rho}$$

y que que la derivada covariante de un vector covariante es

$$\dst \nabla_{\nu}V_{\mu}=\partial_{\nu}V_{\mu}- \Gamma^{\rho}_{\nu \mu}V_{\rho}$$

hacia un monton de calculos y enriedos que no llegaban a nada

el primer truco esta en en pensar que

$$\nabla_{\nu} V^{\lambda} = T^{\lambda}_{\nu}$$

es un tensor de rango 1,1 a su vez es una derivada covariante de un vector contravariante.

por lo que su derivada covariante es

$$\dst \nabla_{\rho}T^{\mu}_{ \nu}=\partial_{\rho}T^{\mu}_{ \nu}+ \Gamma^{\mu}_{ \rho \lambda}T^{\lambda}_{\nu}-\Gamma^{\lambda}_{ \nu \rho}T^{\mu}_{ \lambda}$$

de aqui

$$\nabla_i \nabla_j V^{k} = \nabla_i T^k_j=\partial_i T^k_j+ \Gamma^k_{il} T^l_j-\Gamma^l_{ij} T^k_l$$

$$\nabla_j \nabla_i V^{k} = \nabla_j T^k_i=\partial_j T^k_i+ \Gamma^k_{jl} T^l_i-\Gamma^l_{ji} T^k_l$$

cada $T^{\mu}_{\nu}$ es la derivada coveriante de un vector contravariante entonces aplicando (1) en (4) y (5)

desarrollando

$$\nabla_i \nabla_j V^{k}=\partial_i(\partial_j V^k+ \Gamma^k_{jl}V^{l})+\Gamma^k_{il} (\partial_j V^l+ \Gamma^l_{jm}V^{m})-\Gamma^l_{ij} (\partial_l V^k+ \Gamma^k_{l m}V^{m})$$

$$\nabla_j \nabla_i V^{k}=\partial_j(\partial_i V^k+ \Gamma^k_{il}V^{l})+\Gamma^k_{jl} (\partial_i V^l+ \Gamma^l_{im}V^{m})-\Gamma^l_{ji} (\partial_l V^k+ \Gamma^k_{l m}V^{m})$$

pero aquí viene el segundo truco que no veía y es dentro de la derivada parcial en el primer sumado hay que aplicar regla de la cadena tanto en (6) como en (7)

$$\nabla_i \nabla_j V^{k}=\partial_i \partial_j V^k+ \partial_i(\Gamma^k_{jl})V^{l}+ \Gamma^k_{jl}\partial_i(V^{l}) +\Gamma^k_{il} \partial_j V^l+\Gamma^k_{il} \Gamma^l_{jm}V^{m}-\Gamma^l_{ij} (\partial_l V^k+ \Gamma^k_{l m}V^{m})$$

$$\nabla_j \nabla_i V^{k}=\partial_j \partial_i V^k+ \partial_j(\Gamma^k_{il})V^{l}+\Gamma^k_{il}\partial_j(V^{l}) +\Gamma^k_{jl} \partial_i V^l+ \Gamma^k_{jl}\Gamma^l_{im}V^{m}-\Gamma^l_{ji} (\partial_l V^k+ \Gamma^k_{l m}V^{m})$$

Asi cuando le restamos la expresion (9) a (8)

tenemos que los terminos $\partial_i \partial_j V^k=\partial_j \partial_i V^k$ y los dos primeros sumandos se cancelan
el tercer sumando de 8 se cancela con el cuarto de 9
el tercer sumando de 9 se cancela con el cuarto de 8

las derivada covariantes restadas como ultimos terminos la volvemos a reescribir en terminos de derivada covariante que es la misma en 8 y 9 pero afectada por un Christoffel distinto.

Asi

$$[\nabla_i ,\nabla_j] V^{k}=\partial_i \Gamma^k_{jl}V^{l}-\partial_j\Gamma^k_{il}V^{l}+\Gamma^k_{il} \Gamma^l_{jm}V^{m}- \Gamma^k_{jl}\Gamma^l_{im}V^{m}-\Gamma^l_{ij} \nabla_l V^k+\Gamma^l_{ji}\nabla_l V^k$$

reacomodando los nombres de los nombres duplicados de l a m y m a l podemos llamar

$$R_{ijl}{k}=\partial_i \Gamma^k_{jl}-\partial_j\Gamma^k_{il}+\Gamma^k_{im} \Gamma^m_{jl}- \Gamma^k_{jm}\Gamma^m_{il}$$

a todo lo que es lineal al vector $V^l$ que es el tensor de Riemann

y

$$T_{ij}^l=+\Gamma^l_{ij}-\Gamma^l_{ji}$$

A todo lo que es lineal a $\nabla_l V^k$ que es el tensor de torsión

obteniendo usando (A)

$$[\nabla_i ,\nabla_j] V^{k}=R_{ijl}{k}V^k-T_{ij}^l\nabla_l V^k$$