2o ciclo Demostración producto escalar de dos tensores nulo

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, tengo el siguiente problema:

Sean dos tensores:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] : simétrico
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] : antisimétrico

Demostrar que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Realmente, no tengo mucha idea de cómo empezar, ¿alguien tiene alguna sugerencia? ¿Algún empujón? Muchísimas gracias de antemano!

[javier m]

Re: Demostración producto escalar de dos tensores nulo

Como los indices son mudos en la ultima expresión , los puedes re-etiquetar

Al $\mu$ le llamas $\nu$, y viceversa.

Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Demostración producto escalar de dos tensores nulo

Eso es para B, ¿no? Así los tengo todos como $\mu$ y $\nu$ y me olvido de otros índices y ahí ya empiezo a considerar reglas de transformaciones, ¿verdad?

[javier m]

Re: Demostración producto escalar de dos tensores nulo

No te entendí

Lo que quise decir es que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Al aplicar lo de la simetría y antisimetría sale rápido.

[Richard R Richard]

Re: Demostración producto escalar de dos tensores nulo

En general el producto de tensores es

$\bar V \cdot\vec W= V_{\mu}W^{\mu}=g_{\mu \nu} V^{\mu}W^{\mu}$

en este caso

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

la simetria a se define como

$\dst T_{ij}=T_{ji}$

$T^{ij}=T^{ji}$

y la antisimetria como

$\dst T_{ij}=-T_{ji}$

$T^{ij}=-T^{ji}$

$T_{ii}=T^{ii}=0$

Cuando multiplicas un tensor simetrico por un antisimetrico sucede

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] pues [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

osea los terminos de las diagonales multiplicados por los terminos de las diagonales siempre dan 0

Luego cuando $\mu\neq\nu$ siempre encontraras el par de terminos de sumandos tales como

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Ahora bien sabemos por la simetria que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
y por la antisimetria que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
reemplazando 3 y 4 en 2

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
osea siempre encontraras que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
en resumen

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] si $\mu=\nu$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] si $\mu\neq\nu$

por lo que concluyes que


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
entonces

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

cqd

saludos

[javier m]

Re: Demostración producto escalar de dos tensores nulo

Es demasiado largo, solo hay que hacer esto

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por tanto, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]