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Matriz Nilpotente

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  • Divulgación Matriz Nilpotente

    Para que una matriz no triangular sea nilpotente, aparte de que su determinante sea cero, ¿cómo saber si es nilpotente (sin tener que calcular las sucesivas potencias hasta que nos dé 0)?
    i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r};t) }{\partial t} = H \psi(\vec{r}; t)

    \hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{\psi_i} \bra{\psi_i}

  • #2
    Re: Matriz Nilpotente

    Aparte de que su determinante ha de ser cero, para saber si una matriz cualquiera es nilpotente se procede así:
    Si A es la matriz que quieres comprobar si es nilpotente, e I es la matriz identidad, calcula el determinante de A-xI e iguálalo a cero.
    Obtendrás una ecuación en x. Si la ecuación solo tiene como raíces x=0 entonces la matriz es nilpotente, si tiene alguna raiz distinta de cero no lo es.

    Ejemplo











    Como la única raíz de la ecuación



    Es x=0 , la matriz A es nilpotente.

    Esto que te he explicado se expresa diciendo que una matriz A es nilpotente si y solo si A no tiene valores propios diferentes de cero.

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 01/10/2015, 18:42:35.
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

    Comentario


    • #3
      Re: Matriz Nilpotente

      Te lo agradezco, pero el problema es que precisamente es eso lo que quiero demostrar (que el autovalor ha de ser 0 sí o sí en una nilpotente). Por lo tanto, no puedo partir de eso, sino que busco otra forma de saber que una matriz es nilpotente.
      i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r};t) }{\partial t} = H \psi(\vec{r}; t)

      \hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{\psi_i} \bra{\psi_i}

      Comentario


      • #4
        Re: Matriz Nilpotente

        Supongamos que es tal que . Se tiene que , por lo que , pero como tienes que y ves que si A es nilpotente por narices es un autovalor. Veamos que cualquier autovalor de A es 0. Supongamos un autovalor no nulo de A, por lo que tal que . Pero como , se tiene por inducción que . Pero como implica que por lo que solo puede ser , en contra de la hipótesis.
        Última edición por angel relativamente; 02/10/2015, 02:41:25.
        [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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