Secundaria Función Inyectiva

[The Higgs Particle]

¿Cómo saber si una función es inyecyiva sin tener que hacer su gráfica o calcular su inversa (y ver que no tiene)?

[angel relativamente]

Re: Función Inyectiva

Hola THP, pues como sabes una función es inyectiva si $\forall a,b$, $f(a)=f(b)$ implica que $a=b$. Por tanto la manera más sencilla de ver si es inyectiva es ver si se cumple esto. No siempre es trivial pero en muchos casos es inmediato. Por ejemplo, la función $f(x)=x$ es inyectiva porque si $f(a)=a=b=f(b)$ entonces obviamente $a=b$. Análogamente la función $f(x)=x^2$ no es inyecyiva porque $a^2=b^2$ no implica $a=b$.
Saludos,

[Alriga]

Re: Función Inyectiva

Solo añadir a lo que ha dicho angel, que una función real de variable real inyectiva ha de ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente, es decir no puede tener máximos ni mínimos relativos. (Puedes visualizarlo como que cuando una función llega a un máximo o un mínimo "vuelve para atrás", volviendo a tener valores que ya había tenido antes y por lo tanto ya no será inyectiva)
Por lo tanto, si haces la derivada de la función y ésta no tiene ningún cero, la función será inyectiva.

Ej). $y=\ln x$

$y'=\dfrac 1 x =0$ No tiene solución, por lo tanto $y=\ln x$ es inyectiva.

Si la derivada se anula, hay que mirar si el punto corresponde a un máximo, un mínimo (en ambos casos no será inyectiva) o un punto de inflexión horizontal, que en ese caso sí lo será.

Ej). $y=x^3$

$y'=3 x^2 =0$ tiene solución única, $x=0$ pero como no corresponde ni a máximo ni a mínimo, sino a un punto de inflexión horizontal, la función $y=x^3$ es inyectiva.

Último ejemplo, la función $y=\sin x$

$y'=\cos x=0$ Tiene muchas soluciones que son máximos o mínimos $x=\dfrac \pi 2 +k \pi$ por lo tanto $y=\sin x$ no puede ser inyectiva.

Saludos.

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¿Cómo saber si una función es inyectiva sin tener que hacer su gráfica o calcular su inversa (y ver que no tiene)?

Evidentemente lo de "y ver que no tiene" es al revés, para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva.

[Everett IV]

Re: Función Inyectiva

Por lo tanto, si haces la derivada de la función y ésta no tiene ningún cero, la función será inyectiva. El problema de estrictamente creciente o decreciente es cuando en los máximos y mínimos relativos la función no es derivable. Un matemático te puede buscar una función horrible, seguro. Admito propuestas de funciones con máximos y mínimos relativos no derivables, que no sean funciones continuas compuestas con funciones valor absoluto en [FONT=sans-serif]ℝ.[/FONT]

[The Higgs Particle]

Re: Función Inyectiva

Evidentemente lo de "y ver que no tiene" es al revés, para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva.

Ufff... Sí; se me ha ido totalmente. Muchas gracias