2o ciclo Matriz asociada a una aplicación lineal

[inoki]

Buenas noches,

Necesito ayuda urgente sobre un problema de aplicación lineal.

f(x,y,z)= ( 5x +4y +2z, 4x +5y +2z , 2x + 2y +2z)

Me están pidiendo lo siguiente:

- Encontrar la matriz asociada de la aplicación lineal en la base canònica.
- Encontrar el polinomio característico de la matriz anterior.

Llevo días y horas viendo ejemplos, pero ni mirando dichos ejemplos consigo entender lo que tengo que hacer, se que para la primera pregunta tengo que encontrar la imagen pero he mirado tanto que ya no se ni como se hace de si es por el método de (+x + y -z , 0) pero si lo hago de está forma, me sale una matriz de 2x3 y para poder encontrar el polinomio necesito una matriz cuadrada....

Si alguien es tan amable de poderme explicar como se hace el ejercicio, le estaría muy agradecido, ya que los apuntes que tengo no son de gran ayuda..

[angel relativamente]

Re: Matriz asociada a una aplicación lineal

No te líes, revisa simplemente la definición. La matriz canónica de esa aplicación es

$$M=\begin{pmatrix}<br /> 5 & 4 & 2 \\<br /> 4 & 5 & 2 \\<br /> 2 & 2 & 2 \\<br /> \end{pmatrix}$$

pues observa que el vector que resulta de la multiplicación $\begin{pmatrix}<br /> 5 & 4 & 2 \\<br /> 4 & 5 & 2 \\<br /> 2 & 2 & 2 \\<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ es justamente el mismo que al hacer $f(x,y,z)$

Saludos

[Alriga]

Re: Matriz asociada a una aplicación lineal

Conocida M, la matriz de la aplicación lineal, obtener el polinomio característico es tan sencillo como aplicar la definición del mismo:

$P(t)=determinante (M-t \ I)$ en donde I es la matriz identidad.

$M-t \ I=\begin{pmatrix}5 & 4 & 2 \\<br /> 4 & 5 & 2 \\<br /> 2 & 2 & 2 \\<br /> \end{pmatrix}-t \ \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 1 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 1 \\<br /> \end{pmatrix}$

$P(t)=\left | \begin{matrix}5-t & 4 & 2 \\<br /> 4 & 5-t & 2 \\<br /> 2 & 2 & 2-t \\<br /> \end{matrix} \right |$

Y ahora para obtener explícitamente el polinomio simplemente debes aplicar la regla de Sarrus al determinante.
Saludos.