Otras carreras Determinar valores propios y vectores propios

[propanotriol]

Dada la matriz A, determinar los valores propios y vectores propios:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Donde alfa y beta son números complejos no nulos.

Haciendo los cálculos, obtengo 3 valores propios que cumplen:$|A- \lambda I|= 0$
$<br /> \lambda = 1$ y encuentro los vectores propios tales que: $\vec{x}=k \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ (k real)
$<br /> \lambda = 1\pm\sqrt{\alpha \beta}$

Al intentar resolver el sistema para determinar los vectores propios:

Tengo un sistema tal que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$<br /> \beta x-\sqrt{\alpha \beta} y=0$
$<br /> z=0$

Al aislar x de la segunda ecuación obtengo que: $x= \frac{\sqrt{\alpha \beta} y}{\beta }$
Valor que inyecto en la primera ecuación:

$<br /> -(\frac{\sqrt{\alpha \beta}y}{\beta })\sqrt{\alpha \beta} + y \alpha<br />$

Lo que hace que y=0, entonces x=0 y z=0. Pero no es para nada la respuesta que se da al ejercicio.

¿Hago mal la simplificación de las raíces cuadradas al ser complejos? No veo realmente dónde fallan mis cálculos, o yo mismo.

Cualquier ayuda es de agradecer, ¡un saludo!

[Alriga]

Re: Determinar valores propios y vectores propios

Creo recordar que se hacía así:
El sistema de ecuaciones que resuelve cada vector propio es homogéneo, por lo que la solución "vector cero" siempre existe, pero no es la que buscamos, para encontrar un vector propio, en tu sistema de ecuaciones puedes hacer:

$(A- \lambda I) \ \vec x=\vec 0$ sistema homogéneo compatible indeterminado de donde se obtienen las 3 ecuaciones que tú has escrito,

$z=0$ Obligatorio por la 3ª ecuación.

Asignar arbitrariamente en la 2ª ecuación por ejemplo $y=1$ y entonces despejar x, que da $x=\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}$

Entonces el vector propio es:

$\begin{pmatrix}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}\\1\\0\end{pmatrix}$

Saludos.

(PD. Si te fijas, la 1ª ecuación es igual a la 2ª, para demostrarlo multiplica la 1ª por $\sqrt{\alpha \ \beta}$ y simplifica, obtendrás la 2ª ecuación)

[propanotriol]

Re: Determinar valores propios y vectores propios

no me había fijado y mira que intento hacer el determinante de la matriz equivalente al sistema! Gracias.