Otras carreras ortogonalidad entre dos vectores

[propanotriol]

Es una pregunta suplementaria de un ejercicio en el cual tengo que hallar los valores propios y los vectores propios, y determinar la condición para que los vectores sean ortogonales.

Mi primer vector es:

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{\alpha \beta}}{\beta } & 1 & 0\end{pmatrix}$

Y el segundo:

$\begin{pmatrix} - \frac{\sqrt{\alpha \beta}}{\beta } & 1 & 0\end{pmatrix}$

Donde $\alpha$ y $\beta$ son números complejos no nulos.

Al realizar el producto e igualarlo a 0 para obtener la ortogonalidad:

$(\frac{\sqrt{\alpha \beta}}{\beta }) * (- \frac{\sqrt{\alpha \beta}}{\beta }) + 1 = 0$

Antes de simplificar tengo la duda de si $- \frac{\sqrt{\alpha \beta}}{\beta }$ debería estar conjugado...

Si sigo sin haberlo conjugado llego a que $\alpha = \beta$ que sería mi respuesta.

Pero en el solucionario es: $| \alpha | = | \beta |$

¿Dónde estaría mi error?

Muchas gracias.

[Richard R Richard]

Re: ortogonalidad entre dos vectores

$(\dfrac{\sqrt{\alpha \beta}}{\beta }) * (- \dfrac{\sqrt{\alpha \beta}}{\beta }) + 1 = 0$

$-(\dfrac{\sqrt{\alpha \beta}}{\beta }) ^2 + 1 = 0$

$(\dfrac{\sqrt{\alpha \beta}}{\beta }) ^2=1$

$(\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}) ^2 = 1$

$(\sqrt{\dfrac{\alpha^2}{\beta^2}}) = 1$

$\dfrac{\sqrt{\alpha^2}}{\sqrt{\beta^2}}= 1$

$\dfrac{|\alpha|}{|\beta|}=1$

$|\alpha|=|\beta|$

Saludos

[propanotriol]

Re: ortogonalidad entre dos vectores

Vale, ya lo entiendo, gracias por el desarrollo completo!