1r ciclo Logaritmos

[The Higgs Particle]

"Demuestre que se cumple $log_a (y) = \frac{log_n(y)}{log_n(a)}$, con $a, n$ $\in$ $\mathbb{R}^+$ \ {$1$} e $y > 0$"

Según la definición de logaritmo, tenemos que: $log_a(y) = x \leftrightarrow a^x = y$


Tomo ahora logaritmos en la expresión, uno con base $c$ y otro con base $b$, siendo ambos números reales positivos y distintos de uno ($b, c$ $\in$ $\mathbb{R}^+$ \ {$1$}). Además, $b \neq c$.

$log_b(a^x) = log_b(y) \to x \cdot log_b(a) = log_b(y) \to x = \frac{log_b(y)}{log_b(a)}$

$log_c(a^x) = log_c(y) \to x \cdot log_c(a) = log_c(y) \to x = \frac{log_c(y)}{log_c(a)}$

Entonces, si $x = \frac{log_b(y)}{log_b(a)}$ y $x = \frac{log_c(y)}{log_c(a)}$, ha de cumplirse necesariamente que:

$\boxed{\frac{log_b(y)}{log_b(a)} = \frac{log_c(y)}{log_c(a)}}$

[arivasm]

Re: Logaritmos

No veo que sea eso lo que piden demostrar. La demostración es parecida: si $x=\log_a(y)$ entonces $y=a^x$. Tomando logaritmos en base $n$, $\log_n(y)=x\log_n(a)$, es decir $\log_n(y)=\log_a(y)\log_n(a)$ y entonces $\dst\log_a(y)=\frac{\log_n(y)}{\log_n(a)}$

[The Higgs Particle]

Re: Logaritmos

Bueno, el profesor especificó que lo que quería que demostrásemos era que era independiente de la base que tomásemos ($b, c...$), siempre y cuando fuese mayor que cero y distinto de uno, claro.