1r ciclo Volumen Toro

[The Higgs Particle]

Hola! Me piden calcular el volumen que se obtiene al girar la siguiente figura:

Me parece que saldría el volumen de un toro, ¿no?

Esta circunferencia está descrita por la ecuación $x^2 + (y - R)^2 = r^2$

El volumen total del cuerpo es igual al que se obtiene girando sólo la mitad multiplicado por dos:

$\pi \cdot \int_a^b (y_1)^2 \cdot dx = \pi \cdot \int_a^b(y_2)^2 \cdot dx$, donde $y_1 = y_1' - R$ es:

$x^2 +(y_1' - R)^2 = r^2 \to y_1^2 = r^2-x^2$

No sé si aquí he hecho bien en tomar la función así o sólo debía tomar $y_1'$ y no $y_1 = y_1' -R$

Por lo tanto, $V_{toro} = 2 \cdot \pi \cdot \int_0^r (r^2-x^2)dx = 2 \cdot \pi \cdot [r^2x - \frac{x^3}{3}]^r_0 = 2 \cdot \pi \cdot (r^3 - \frac{r^3}{3})$

De donde:

$V_{toro} = 4 \pi \cdot \frac{r^3}{3}$

[visitante20160513]

Re: Volumen Toro

La circunferencia de la figura está descrita por la ecuación:

$x^2+(y-R-r)^2=r^2$

Salu2, Jabato.

[The Higgs Particle]

Re: Volumen Toro

La circunferencia de la figura está descrita por la ecuación:

$x^2+(y-R-r)^2=r^2$

¿Cómo es eso?

[Richard R Richard]

Re: Volumen Toro

De donde:

$V_{toro} = 4 \pi \cdot \frac{r^3}{3}$

Has llegado al volumen de la esfera no del toro es decir has girado sobre eje de la circunfenerncia , no siguiendo el radio R.



son dos partes el volumen de un casco superior - el volumen del anillo interior

Pues $y=R\pm\sqrt{r^2-x^2}$


$V_{toro} = 2 \cdot \pi \cdot \int_0^r (R+\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x - 2 \cdot \pi \cdot \int_0^r (R-\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x$


aunque la ecuacion es dificil de integrar cuando evalues por 0 y r se simplifica bastante

hasta que llegues a

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$V_{toro}=2\pi^2r^2R$

no mires sin intentar primero

PD si distribuyes el cuadrado del interior $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ algunas cosas dificiles se pueden simplificar pues estan en amas inetegrales sumando y restando

[visitante20160513]

Re: Volumen Toro

Las coordenadas del centro de la circunferencia son $(0,\ R+r)$ y su radio es $r$, entonces su ecuación es:

$x^2+(y-R-r)^2=r^2$

Salu2, Jabato.

[The Higgs Particle]

Re: Volumen Toro

Pues $y=R\pm\sqrt{r^2-x^2}$

Aquí me pierdo... ¿no es la función, según ha dicho Jabato, $y = R + r \pm \sqrt{R^2 -x^2}$?

$V_{toro} = 2 \cdot \pi \cdot \int_0^r (R+\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x - 2 \cdot \pi \cdot \int_0^r (R-\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x$

Esto tampoco lo entiendo. ¿No es dos veces el volumen de uno solo de los casquetes?

Es decir, que $V_{toro} = \pi \cdot \int_0^r (R+\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x - \pi \cdot \int_0^r (R-\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x$ $= 2 \cdot \pi \cdot \int_0^r (R+\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x$

[Richard R Richard]

Re: Volumen Toro

Aquí me pierdo... ¿no es la función, según ha dicho Jabato, $y = R + r \pm \sqrt{R^2 -x^2}$?

No he analizado la que dio jabato pues estoy bastante seguro que mi fórmula funciona en integrales de volumen en sólidos por revolución, con el método de la arandela

yo interpreto que el centro de la circunferencia esta (0,R) y jabato en (0,R+r) lo cual no esta claro en el esquema, citandote

Esta circunferencia está descrita por la ecuación

para mi los limites en el eje $y$ de tu circunferencia estarían entre $y=R-r$ e $y=R+r$ tu diras.... si es correcto lo que sigas leyendo estara bien, de lo contrario en el resultado final de mi planteo en ves de tomar el valor de R toma el de R+r como si fuera un cambio de variables y sigues usando R al final reemplazas y llegarias a $V_{toro}=2\pi^2r^2(r+R)$

Por otro lado

Cualquier perfil que rotes sobre el eje x la integral sera

$$V= \dst\int^b_a \pi y^2 \dd x$$

que reduce el problema a hallar los limites de integracion a y b y la funcion $y(x)$ en el intervalo

en tu ejercicio $a=-r$ y $b=r$ igual que con la circunferencia.

Pero con $y$ tienes un problema para cada $x$ tienes dos valores posibles para $y$

Sabemos que $y$ es la distancia entre la funcion y el eje $x$, pero tu tienes que evaluar el volumen entre la semicircunferencia que esta por encima de $y= R$ y la semicircunferencia que esta por debajo.

sabemos que la función $y_c$ de una circunferencia es

$y_c=\pm\sqrt{r^2-x^2}$

por lo que la semicircunferencia que estará por encima del eje $x$ sera

$y_{sc+}=+\sqrt{r^2-x^2}$

y la inferior

$y_{sc-}=-\sqrt{r^2-x^2}$


pues bien esta claro que si hiciera rotar sobre el eje x ambas encerraría el mismo volumen,

pero al adicionar el radio R

$y_{c+}=R+y_{sc+}=R+\sqrt{r^2-x^2}$

$y_{c-}=R+y_{sc-}=R-\sqrt{r^2-x^2}$

si pensamos que el toro se puede formar como la sumatoria de pequeños circunferencia de radio $y$ notaras que las circunferencias de radio superior a R al ser mas largas aportan mas volumen que las que tienen radio inferior a R por ello

Esto tampoco lo entiendo. ¿No es dos veces el volumen de uno solo de los casquetes?

Es decir, que $V_{toro} = \pi \cdot \int_0^r (R+\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x - \pi \cdot \int_0^r (R-\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x$ $= 2 \cdot \pi \cdot \int_0^r (R+\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x$

no sera cierto, pues el volumen generado por la semicircunferencia superior es mayor que el que genera la semicircunferencia inferior por lo tanto no puedes duplicar su valor ,

la integral $\pi \cdot \dst \int_{-r}^r (R+\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x$ calcula el volumen entre la semicircunferencia superior y el eje x al reemplazar el valor de $y_{c+}$ en la ecuacion 1 y

la integral $\pi \cdot \dst\int_{-r}^r (R-\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x$ calcula el volumen entre la semicircunferencia superior y el eje x al reemplazar el valor de $y_{c-}$ en la ecuacion 1

por lo que el volumen comprendido entre ambas semicircunferencias sera la resta de ambas integrales.

Es decir, que $V_{toro} = \pi \cdot \dst\int_{-r}^r (R+\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x - \pi \cdot \dst\int_{-r}^r (R-\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x$

Como habrás detectado se puede hacer la simplificación considerando que el volumen que esta entre -r y 0 en el eje x es igual al que esta entra 0 y r allí si puedes tomar la simplificación de hacer la integral de uno solo de los intervalos y luego duplicar su valor , creo que por allí venia tu pregunta

es decir

$V_{toro} = \pi \cdot \dst\int_{-r}^r (R+\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x - \pi \cdot \dst \int_{-r}^r (R-\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x$$=2\cdot\left ( \pi \cdot \dst\int_{0}^r (R+\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x - \pi \cdot \dst\int_{0}^r (R-\sqrt{r^2-x^2})^2\dd x\right )<br />$


Saludos $R^3$

[The Higgs Particle]

Re: Volumen Toro

Perdón por no haberlo aclarado: $R$ es la distancia desde el origen hasta la parte inferior de la circunferencia. El punto en el que se encuentra el centro de la circunferencia es, por lo tanto, $(0, r +R)$

no sera cierto, pues el volumen generado por la semicircunferencia superior es mayor que el que genera la semicircunferencia inferior por lo tanto no puedes duplicar su valor ,
$R^3$

Ahora he entendido por qué lo multiplicabas por dos. Pero sigo sin ver por qué no son volúmenes iguales. Si yo hago un corte longitudinalmente al toro, ¿no obtengo dos mitades iguales?

[Richard R Richard]

Re: Volumen Toro

Pues entonces jabato tiene razon

$y=R+r+\pm\sqrt{r^2-x^2}$


Y te saldra $V_{toro}=2\pi^2r^2(r+R)$

Ahora he entendido por qué lo multiplicabas por dos. Pero sigo sin ver por qué no son volúmenes iguales. Si yo hago un corte longitudinalmente al toro, ¿no obtengo dos mitades iguales?

si el corte lo haces como va el eje x obtienes dos "$\subset$" de volumenes iguales lo mismo sucede si cortas por el eje y obtienes dos" $\circlearrowleft$ y $\circlearrowright$" medios toros de volumenes iguales hasta ahi vamos bien.

Pero la razon por la integral se separa en dos porque tu haces un corte en circunfencia cuyo radio es R+r, tienes una funcion y para radios mayores a r+R y otra para los menores
veamos una analogia es
como si extrajeras pedazos en forma de anillo de una torta redonda a la cual ya le falta el centro, y y la cortas justo en R+r, como el radio hacia fuera es mayor la circunferencia sera externa mayor y que en la radio hacia adentro , habra mas torta en el anillo exterior que en el interior.

la integral que usa el signo + en la funcion $y = R + r + \sqrt{R^2 -x^2}$ da el volumen de la rotacion figura del lado izquierdo y con el signo negativo la del lado derecho al restarlas da el volumen diferencia en este caso el toro.



luego



la mitad izquierda de la figura de la izquierda tendra el mismo volumen que la mitad derecha de la misma figura por eso puedes duplicar el valor solo calculando el volumen rotado de una de las dos.

Pero en la figura de la derecha el volumen rotado de la semicircunferencia superior sera mayor que el de la semicircunferencia inferior celeste. Y seguira siendo valido que el volumen del lado izquierdo del eje y es igual al del lado derecho, para cada uno de las dos mitades pero diferentes entre superior es inferior.