1r ciclo Interpretación del espacio bidual.

[garrak]

Buenas!
¿Alguien podría aclararme qué es un espacio bidual así a rasgos generales, sin fórmulas? Lo que es el dual solo, sí consigo entenderlo, pero el dual de un dual es algo que me cuesta más.
Muchas gracias.

[angel relativamente]

Re: Interpretación del espacio bidual.

El concepto es muy abstracto, por eso no se pueden poner ejemplos "cotidianos", o al menos no se me ocurren. La idea no es tan complicada si has entendido lo que es el dual. En primer lugar, empápate bien de que el espacio dual es un espacio vectorial, con todas las de la ley. Si el dual de un espacio vectorial E (con escalares en K) es considerar las aplicaciones que van de E a K, el bidual de E estará formado por las aplicaciones que mandan las aplicaciones anteriormente definidas a escalares de K. Sin mucha fórmula, si $f:E\to K$ es una aplicación que manda elementos de E a escalares, entonces definimos un espacio vectorial $E*$ cuyos elementos son estas aplicaciones $f$. Ahora definimos un nuevo espacio, $E**$, que manda aplicaciones $f:E\to K$ a escalares. Es decir, un elemento $\phi$ del espacio bidual $E**$ cumple que si $f:E\to K$ es una aplicación lineal, entonces $\phi(f)=k\in K$. Como digo, el concepto es abstracto y ves que puedes definir perfectamente un tridual, etcétera. La gracia está en que existe un isomorfismo entre $E$ y $E**$ (la demostración la puedes encontrar en muchas fuentes, aunque no es trivial), por lo que no tiene sentido seguir definiendo duales de duales porque se vuelve a lo mismo.