Secundaria Progresión aritmética

[The Higgs Particle]

Prefiero poner mi duda con un ejemplo, porque creo que así se me entiende mejor:

Imaginemos que yo inicialmente tengo un número de monedas $M_0$, y cada mes me dan $d$ más.

Se trata de una progresión aritmética, siendo $M(t)$ el número de monedas que tengo en el mes $t$: $M(t) = M_0 + d \cdot t$

Por lo tanto, en el mes 1 voy a tener un total de $M_0 + d$ monedas acumuladas, y en el mes 2 tendré un total de $M_0 + 2 \cdot d$ monedas.

¿Qué sentido tiene en un ejemplo como este hacer el sumatorio de la sucesión, si en la fórmula anterior me da el total de monedas que yo tengo en cada mes?

[Alriga]

Re: Progresión aritmética

Carl Friedrich tenía siete años cuando ingresó a la escuela primaria St. Catherine. Su profesor fue J. G. Büttner, un maestro tradicional que, en general, consideraba a sus alumnos como incapaces y poco inteligentes.

Sin embargo, pronto descubrió que Gauss era diferente. ¿Cómo lo descubrió? Cuando ocurrió el siguiente episodio, una mañana en el salón de clases:

El profesor, ante un grupo de niños de alrededor de 10 años de edad, estaba molesto por algún mal comportamiento del grupo y les puso un problema en el pizarrón que según él les tomaría un buen rato terminar; así, de paso, podría descansar. En esos tiempos los niños llevaban una pequeña pizarra en la cual hacían sus ejercicios.

Y el profesor dijo que mientras fueran acabando pusieran las pizarras en su escritorio para que luego las revisara. El problema consistía en sumar los primeros cien números enteros, es decir, encontrar la suma de todos los números del 1 al 100. A los pocos segundos de haber planteado el problema se levantó un niño y depositó su pizarra sobre el escritorio del maestro. Éste, convencido de que aquel niño no quería trabajar, ni se molestó en ver el resultado; prefirió esperar a que todos terminaran.

Un poco más de media hora después comenzaron a levantarse los demás niños para dejar su pizarra, hasta que finalmente todo el grupo terminó. Para sorpresa del profesor, de todos los resultados el único correcto era el del primer muchacho, mando a llamar al chico y le preguntó si estaba seguro de su resultado y cómo lo había encontrado tan rápido; el niño respondió:

"Mire maestro, antes de empezar a sumar mecánicamente los 100 primeros números me di cuenta que si sumaba el primero y el último obtenía 101; al sumar el segundo y el penúltimo también se obtiene 101, al igual de sumar el tercero con el antepenúltimo, y así sucesivamente hasta llegar a los números centrales que son 50 y 51, que también suman 101. Entonces lo que hice fue multiplicar 101 x 50 para obtener mi resultado de 5.050."

De esta manera aparentemente simple, Gauss había encontrado la propiedad de la simetría de las progresiones aritméticas, derivando la fórmula de la suma para una progresión aritmética arbitraria - fórmula que, probablemente, Gauss descubrió por sí mismo.
Este acontecimiento marcó el camino en su vida. Büttner inmediatamente percibió que poco más tenía para enseñar a Gauss y le dio el mejor libro escolar de aritmética, especialmente encomendado de Hamburgo

PD. La suma de una progresión aritmética no es el valor del último término, sino la suma de los valores de todos los términos, desde el primero al último
En este ejemplo la suma es 5050, no 100 que es el valor del último término
Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Progresión aritmética

Sí, pero eso es un ejemplo de sumar números. Quiero decir, en un ejemplo como el que he puesto - al margen de la aritmética pura - ¿qué sentido tiene el sumatorio?

[arivasm]

Re: Progresión aritmética

Las sumas de los términos de sucesiones reciben el nombre de series, y son muy importantes en Matemáticas.

Podemos darle una forma más interesante a tu ejemplo si lo vemos de esta manera: imagínate que gracias a la disminución de su masa la distancia que recorre un cohete al cabo de un minuto va aumentando paulatinamente. En el primer miunto recorre M0, en el segundo M0+d, en el tercero M0+2d... (por supuesto, la realidad no es así, sólo es para que me entiendas). La suma (serie) equivale a preguntarse cuánto ha recorrido en total al cabo de tal tiempo.